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Mathematics Senior High

三角関数 (2)の2〜5の個数が納得いきません。 グラフを書いて数えたら数が合わないのですがそこを教えていただきたいです。

重要 例題 144 二角方程式の解の個数 a は定数とする。 0 に関する方程式 sin20-cos0+α=0 について,次の問いに答 えよ。 ただし, 0≦0<2πとする。 (2) この方程式の解の個数をαの値の範囲によって調べよ。」 (1) この方程式が解をもつためのαの条件を求めよ。 x2+x-1-a=0 (-1≦x≦1) 指針 cos0=xとおいて, 方程式を整理すると 前ページと同じように考えてもよいが, 処理が煩雑に感じられる。 そこで ① 定数αの入った方程式f(x)=αの形に直してから処理に従い,定数aを右 辺に移項した x2+x-1=α の形で扱うと,関数 y=x²+x-1(-1≦x≦1)のグラフと直 線y=αの共有点の問題に帰着できる。 → 直線y=a を平行移動して,グラフとの共有点を調べる。 なお,(2) では x=-1, 1であるxに対して0はそれぞれ1個, 1<x<1であるxに対して0は2個あることに注意する。 解答 CS0=xとおくと, 0≦0 <2πから 方程式は (1-x2)-x+a=0 したがって x2+x-1=a f(x)=x^*+x-1とするとf(x)=(x+1/27) 2012/2 5 - (1) 求める条件は、-1≦x≦1の範囲で, 関数 y=f(x) の グラフと直線y=α が共有点をもつ条件と同じである。 よって、 右の図から -2 -≤a≤1 (2) 関数 y=f(x)のグラフと直線y=a の共有点を考えて, 求める解の個数は次のようになる。 -1≤x≤1 5 [] a<-2, 1<a のとき共有点はないから 0個 4' [2] a=- のとき, x=- 1/2から2個 5 4 [3] -> <a<-1のとき -¹<x<- 12/1₁ - 12/1<x れぞれ1個ずつあるから 4個 [6] <x<0 の範囲に共有点はそ [6]+ [5] [4]- [3]+ [2] [6] - [5] - [2] - [4]→ この解法の特長は, 放物線を 固定して, 考えることができ るところにある。 グラフをかくため基本形に。 iy=f(x) 1 0 y=a 1 -1 a=-1のとき, x= -1,0から 3個 1<a<1のとき, 0<x<1の範囲に共有点は1個あるから 2個 a=1のとき, x=1から 1個 YA 1 重要 143 O 5 12l 1 1x 定数αの値の範囲に [3] 225 4章 23 三角関数の応用

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Mathematics Senior High

(2)においてです。 aの範囲をa≦0、0<a<4、4≦aで場合分けした場合バツですか? 場合分け以外は解答とあっています。

130 基本例題 79 2次関数の最大・最小 ( 4 ) aは定数とする。 0≦x≦4における関数f(x)=x2-2ax+3aについて,次のもの を求めよ。 (1) 最大値 解答 関数の式を変形すると f(x)=(x-a)^-a²+3a y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で、 軸は直線x=α したがって 指針 関数のグラフ (下に凸の放物線) の軸は直線x=α であるが, α のとる値によって, 軸の位 置が変わる。 よって,軸 x=a と区間 0≦x≦4の位置関係で,次のように場合を分ける。 (1) 最大 (区間の端) 軸が区間の中央より左,中央,中央より右 (2) 最小 (頂点または区間の端) 軸が区間の左外,内,右外 したがって (1) 区間 0≦x≦4の中央の値は2である。 [[1] a<2のとき, 図 [1] から, x=4で最大値f(4)=16-5a をとる。 ① [2] a=2のとき, 図 [2] から, x = 0, 4で最大値f(0)=f(4)=6をとる。 [[3] a>2のとき,図 [3] から, x=0 で最大値 f(0)=3a をとる。 [1] [2] [軸 [3]! 軸 (2) 最小値 x=21 x=0x=ax=4 x=0x=2x=4 a<2のとき x=4で最大値16-5a a=2のときx=0, 4で最大値6 a>2のとき x=0で最大値3a (2) 軸x=a0≦x≦4の範囲に含まれるかどうかを考える。 [[4] a<0のとき,図 [4] から, x=0 で最小値f(0)=3aをとる。 [5] 0≦a≦4のとき,図 [5] から,x=aで最小値f(a)=-a²+3aをとる。 [ [6] α>4のとき,図 [6] から, x=4で最小値f(4)=16-5αをとる。 [4] 軸 [5] ' [6] |軸 | 最小 x=ax=0 x=4 大 最小 x = 0x=ax=4 a<0のとき x=0で最小値3a 0≦a≦4のとき x=αで最小値-a²+3a a>4のとき x=4で最小値16-5a 最 x = 0 基本 [77] x=2| 最小 練習 ③79 (1) 最大値 aは定数とし, 関数 y=x2+2(a-1)x (-1≦x≦1) について次 (2) 最小値 $30S>>0 (1) x=0x=ax=4FSNET (S) 基本 114 まず,基本形に直す。 x=4x=a H

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