漸化式と場合の数の問題についてです 問題の流れが掴めないです 特にn＋1両目を考える際に cn＋1が2bnとなるかが分からないです

例題 307 漸化式と場合の数 先頭車両から順に1からnまでの番号のついた両編成の列車がある。 ただし n ≧2 とする. 各車両を赤色、青色,黄色のいずれか1色で塗ると き、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何 通りか. (京都大) 考え方 まずは具体例で考える. n=2のとき, (2両の塗り方) 2両目が赤のとき, 1両目は赤, 青, 黄のいずれでもよい。 2両目が青, 黄のとき, 1両目は赤でなければならない. 一般には, n両目を考え,それが赤か, 赤以外かで場合分けして考える. 解答 条件を満たす両の車両の塗り方の数をan, そのうち最後 尾の車両が赤である塗り方の数を6n, 最後尾の車両が赤以外 である塗り方の数を cm とする. n=2 の場合, a2=5, b2=3,C2=2 また, an=bn+cn ......① ここで,(n+1) 両目について考える. (n+1) 両目が赤のとき、両目は赤, 青, 黄のいずれでも bn+1=bn+Cn 「よいので, 一方,(n+1) 両目が青, 黄いずれかのとき, n両目は赤で なければならないので, Cn+1=26n ここで, b=1,C1 = 2 とすると, ②, ③ は n=1のときも 成り立つので, n ≧1 として考える. ②③より bn+2=bn+1+2bn bn+2-2bn+1=-(bn+1-2bn) これより ・④ bn+2+bn+1=2(bn+1+bn) I\ ･⑤ ④より、数列{bn+1-26m} は初項 62-261=3-2=1, 公比 -1の等比数列だから, **** bn+1-26=1・(-1)^-1=(-1)^-1 ⑥6⑥ ⑤より, 数列{bn+1+bn} は初項b2+b=3+1=4, 公比2の等比数列だから, bn+1+b=4・2-1=2n+1 ⑥⑦ より, -36=(-1)-1-2n+1,6n= 1 -{2n+1+(-1)"} 3 ③より, n≧2のとき Flo FM Cn=267-1=2.1/13(2"+(-1)^-1=1/12 (21" +1-2 (-1)^} よって, ①より, an=1/12 (2+2(-1)^) (通り)(n≧2) 最後尾の車両の色に 注目して考える. 1両目 2両目 青 青 黄 赤 赤 n両目 (n+1) 両目 赤}6 赤 7 bn+1-2bn C2 赤+1 Cn 赤}6 青 赤}6 黄 x2=x+2より (x-2)(x+1)=0 x=2, -1 n≧2で考えると, b3-262 に対して、 =(3+2)-2・3=-1 Cn+1 =-1(-1)-2 =(-1)^-1 |--(-1)^-1=(-1)"

(4)の考え方がよく分からないです💦 教えてください🙇‍♀️

例題112 無限級数の収束・発散(2) 次の無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ.た I+)(1+1+y) だし, (2)は無限等比級数である. n 2 3 4 (1) 1+ + + + 13 5 7 (2)(√3-1)+(4-2√3)+(6√3-10) +...... 3 4 4 (4)) 2-2 + 2-3 + 3) ... m→∞ An (5n+1n+2 n 3 2 + 解答 (1) 1+- 3 n+1 Olb +(3+) + *=21+1. 考え方 (1) 一般項をam とするとき, liman=0 ならば, 無限級数 am Σan 4 + + 5 7 + ならば lim Sn は発散する. n→∞ は発散する。 n=1 (2) 公比rの無限等比級数が収束する条件は, (初項)=0 または-1<r<1である。 n→∞ 8 8 (3) 無限級数 Σan, Σón が収束するとき, Σ(kan+b)=a+lon n=1 n=1 1-I+ay= ・+･･・ 8 +1 000 3 2 (3) 2 2n 3n n=1 n=1 Ita である(ただし, k, l は定数). (4) lim S2m-1≠lim S2m (n=2m-1のときと n=2mのときで極限値が異なる) STR m→∞ 東 8 8 n=1 8 || n=1

（２）なんですけど、赤く囲った部分どういうことですか？何言ってるのかわからないので解説お願いしたいです。 場合わけをするべきってことはわかったのですが、なぜこの問題で偶数奇数が関わってくるのでしょうか

nπ mono. 2 (1/3) sin の和を求めよ。 2 (2) J (2) 無限級数 Σ n=1 8 指針 無限等比級数 Σar"=a+artare+.･････ の収束条件は α = 0 または |r|<1 [1] a=0, |x|<1のとき 収束して、和は [2] a=0のとき 収束して,和は0 員 (1) 公比ヶが|r|<1, r≧1のどちらであるか を,まず確かめる。 CHART 無限等比級数の収束 発散 公比 ±1が分かれ目 n=1 n 4 1-1-13 2 (2) 自然数とすると (1) (1)(ア)初項は√3,公比はy=√3で, x>1 であるから,発散する。 H 2√3 √√3 (イ)初項は 4,公比はr=- で, r<1であるから, 収束する。和は 4 2 -=8(2-√3) 8-0.0343 8 (2-√3) 2+√3 == nπ n=2k-1のとき sin n ¹7 = sin(kx-7)=- 2 104 (2+√3)(2-√3) n=2kのとき n nπ よって,数列{(1/3 ) 'sin 7/7 } は 2 nπ sin- =sinkx=0 2 3 1-(-3/2) 3² a 1-r *coskx=(-1)+1 3 10 37⁹ .. 無限等比級数であり,公比rはr<1であるから収束する。 1 その和は [(2) 愛知工大] 0<al+x81 p.202 基本事項 ① TRAHO (初項) 1 (公比 ) 1 3, 0, -3, 0,5, 0, - 35 33 .07439 0.0000243+0.000000 n となる。ゆえに,(1/3 ) 'sin "は初項 1/3,公比 - 12/13 の 無限等比数列 1/3/31 3³⁹ 9 3² 2 n=1\ の和とみる。 na まず sin- -がどのような 値をとるかを n が奇数・ 偶数の場合に分けて調べる。 んが整数のとき 1 (kが偶数) -1 (奇数) cos k= =(-1) (初) 1 (公比 ) 4章 15 無限級数

(2)　なぜ−2は(−1/2)^n-1　になるのですか?

よって, 32 3 a,=−1+(n−1). a=-1+(n-1).12=n2 an=-2. n-1 an=a₁+ [bk k=1 = 2 + √² 5 (2) ,=-2, 20+1= - an より, an+1=- ら、 数列{an} は初項 - 2,公比-123の等比数列である よって. ²-(-2)=(-12) 1-=n(n+1) より,数列{an}の階差数列{bn} の第k項は, b=k(k+1) だから, n≧2のとき, 12/24円であるか であるか an n-2 両辺を2で割る。 以 2=(-12) <-2=

画像1枚目の問題の答えが画像2枚目になる理由を教えて頂きたいです。

1 件によって定められる数列{a (1) a1=2, an+1=3an-2

こちらの問題についてです。答えはキ-1/2ク4ケ171/64なのですが、ケだけ解き方がわかりません。教えていただきたいです！！

(3) 公比が実数である等比数列{an}において, a1+a2+a3=3, ケ a4 +05+a6= が成り立つ。このとき,公比はキであるから, a1 ク 9 Σak = k=1 である. 3-8 = であり,

こちらの問題についてです。答えは「カ1キ-1/2ク4ケ171/64なのですが、どのように解くのか分かりません！！教えてください！！

(3) 公比が実数である等比数列{an}において, a1+a2+a3=3, ケ a4 +05+a6= が成り立つ。このとき,公比はキであるから, a1 ク 9 Σak = k=1 である. 3-8 = であり,

等比数列の和を場合分けするときってどんなときですか？？教えていただきたいです！

例題 5 解 場合分けのある等比数列の和 次の等比数列の初項から第n項までの和Sn を求めよ。 1, 2x, 4x2, 8x3, この数列は初項 1 公比2x の等比数列であるから 1/2のとき (i) 2x 1. すなわち x≠ (ii) 2x = 1, すなわち x = 2 のとき Sn= = (2x)"-1 2x-1 Sn = 1+1+1+・ n if +1=n

なぜ公比がマイナス2分の1なのか分かりません

5 C 点の運動と無限等比級数 数直線上で、点Pが原点Oから正の向きに1だけ進み, そこから 1 23, そこから負の向きに 9 応用 例題 4 解答 負の向きに 1/12 そこから正の向きに と進む。以下,このような運動を限りなく続けるとき, 点Pの極 限の位置の座標を求めよ。 考え方 点Pの極限の位置の座標は,無限等比級数で表される。 点Pの座標は,順に次のようになる。 1 1,1 1 - 12., 1-12 + 23, 1 - 1 + 2/2 - 23. 1 1 9 2², 9 2 2² 2³⁹ よって, 点Pの極限の位置の座 標は,初項 1,公比- 1 2 - 等比級数で表される。 1 23 の無限

どうして2･2n-1ではいけないのですか？教えてください🙏

(1) (i) 初項2,公比2 An= arn-1 an 2124-1 }} 2n