1の(2)の問題なんですけど正の約数で12で割り切れる数だから総和から引く数は2は2の二乗から、3は3(の1乗)から→2×2×3＝12ってことですか？

解答 数学 北海道メタル 3 1 解答 A 発想 / 正の約数の個数, 総和についての問題。 (1) 2"3" の正の約数は2F・3 ( x, y は整数x n)で表される数であり(x,y)の決め方1通りに対して正 の約数が1個定まるから, (x, y) の決め方の数が正の数 数となる。 (2)6912を素因数分解し (1) と同様に正の約数を考え、総和を 計算する。 次に12で割り切れる正の約数を考えるが、これは2 を2個以上,3を1個以上含む正の約数と考えればよい。その危 和を求め, 前述の総和から引くとよい。 (1) 2"3" の正の約数は2F・3 ( x, y は整数,0≦x≦m, Osy n) で表される数である。 xは+1通り,yはn+1通りの決め方があるので,正の約数の個数は (m+1)(n+1) 18 ( (2) 6912233であるから, 正の約数は 23 ( x, y は整数 0≦x≦8,0≦x≦) で表される数であり、総和は (1 + 2 + 2° + 2° + 2' + 2° + 2° + 2' + 2°) (1+3 +3 + 3) 2°-13'-1 -X 2-1 3-1 =511×40=20440 また 6912 の正の約数のうち12で割り切れる数は 23(xy は整数, 2≦x≦8, 1≦y≦3) で表される数であり, 総和は (2' + 2 + 2' + 2° + 2°+2' + 2°) (3+3+3) 22(27-1) 3 (33-1) X =508×39=19812 2-1 3-1 よって、正の約数のうち12で割り切れないものの総和は

（3）でなぜFを考えているのですか？

00000 (2) 0≤aa2a3aas≤3 386 重要 例題 34 数字の順列 (数の大小関係が条件) 次の条件を満たす整数の組 (a1, a2, 3, 4, (1) 0<al<ar<astas <as<9 α5) の個数を求めよ。 指針 (1) a1, 2,......, α5 はすべて異なるから, 1, 2, ・・・, 個を選び、小さい順にα1, 2,......., α5 を対応させればよい。 → 求める個数は組合せ C5 に一致する。 (3) a1+aztastastas≦3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5) 基本 32 8の8個の数字から異なる! (2) (1) とは違って、条件の式にを含むから, 0, 1,2,3の4個の数字から重複を許 して5個を選び,小さい順にα1, 2,........, as を対応させればよい。 → 求める個数は重複組合せ H5 に一致する。 (3)おき換えを利用すると、不等式の条件を等式の条件に変更できる。 3-(a+az+as+a+αs) =bとおくと a1+a2+as+a+αs+b=3 また, a1+a2+as+a+a5≦3から b≥0 よって、基本例題 33(1) と同様にして求められる。 (1)1,2,…………, 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小検討 解答 さい順に α1, a2, ......, α5 とすると, 条件を満たす組が 1つ決まる。 よって, 求める組の個数は 8C5=8C3=56 (個) (2)0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小さい順にα1, A2, ......, が1つ決まる。 α5 とすると,条件を満たす組 よって, 求める組の個数は 4H5=4+5-1C5=8C5=56 (個) (3) 3-(a1+a2+a3+α+α5)=bとおくと a1+a2+a3+a+a+b=3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5), 60 ① よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の 組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取 る重複組合せの総数に等しく MARK 6H3=6+3-1C3=8C3=56 (個) 別解 a+az+as+a+as=k(k=0, 1, 2, 3) を満たす 0 以上の整数の組 (A1, A2, 3, 4, α5) の数は5Hであ るから 5Ho+5H1+5H2+5H3 =4Co+5C1+6C2+7C3 =1+5+15+35=56 (個) ← 等式 (2)(3)は次のようにして 解くこともできる。 (2)[p.384 検討 PLUS ONE の方法の利用] bi=ai+i(i=1,2,3, 4, 5) とすると, 条件は 0<b<bz<b<ba<bs<9 と同値になる。 よって (1)の結果から 56個 (3)3個の○と5個の仕 切りを並べ、 例えば, |○||〇〇|| の場 合は (0,1,0,2,0) を表すと考える。 このとき |A|B|CD|E|F とすると, A, B, C, D, E の部分に入るO の数をそれぞれ, 2 a3, 4, as とすれば、 組が1つ決まるから 8C3-56 (1) 振り返り ●場合の数を によるのが ●代表的な (a+b)( 2700=2 . . 10人 10人を (ア)特 (イ) 牛 ・10人 異な ・10人 ・3本 ・正 (イ) ・10 . 10 ・a 組

黄チャートの数BのPR12の（2）の問題で、赤でマーカーを引いているところの式変形がわかりません。（→の先の式がどうなってできたのかがわかりません。）解説よろしくお願いします🙇‍♀️

PRACTICE 122 100104-2) (1) 第3項が12,第6項が96である等比数列 (公比は実数) において 第項 は3072であり, 初項から第 項までの和は513である。 は3072であり,初項から第1 20.1 (2) 実数 r>0 を公比とする等比数列 an=arn-1 (n=1,2, .・・・・・) において, 初項か ら第5項までの和は16で,第6項から第10項までの和は144である。 このとき, 第11項から第20項までの和を求めよ。 001 [愛知]

Q.　中学数学 関数 　(3)のグラフの問題についてです。 　2枚目が解説なのですが ,　なぜ6つの場合に分けて考えるという発想になるのか教えてください🙇🏻‍♀️

15分 後か求め 2 右の図のように,AB=30cmの線分がある。 点Pは点Aを出発して、 一定の速 A. さでAB上を1往復して止まり点Qは点Bを出発して、一定の速さでAB上を 1往復して止まる。 右のグラフは、点P.Qが同時に出発してから、秒後の線分 AP AQ の長さをycmとしたときのæとの関係を表したものである。このとき, 次の問いに答えなさい。 1点P.点Qが動く速さはそれぞれ毎秒何cm か求めなさい。 2)点Pと点Qが出会うのは同時に出発してから何秒後かすべて求めなさい。 □(3) 点と点Qが同時に出発して秒後の点P と点Q の間の距 離をycmとしたときのとyの関係を表すグラフを右の図に かきなさい。 30 25 25 20 15 10 5 P--Q B -30cm 2=-2x+30 y 30 -P y: 3x+60 Q 0 10 15 20 30 1 O 5 10 15 20 25 35 -21- 2 数学 y=20-30 4 反比例の式 とする。 よって、反比例の式は3 V-5-6.z=2のとき P.19 (2)Bは直線 11/22 上の点だから (3) 反比例の式を1とする。 の双曲線上の点でもあるので、 (2)直線の式をy=ax+bとする。 6-ax (-3)+b. 3a-6--6--- (60)を通るので.0=a×6+1 ①.②連立方程式として解く (3)=2のとき.3=-5×2+7 V=-5×8+7=-33 yの増加 【別解】ェの増加量は8-2=6. (4) 平行な直線は傾きが等しい 5 y=x+b とする。点(87) I+ b=-3 よって、直線の式に 5 =2のとき.2×(- =4のとき、y=2x4-3- (5) 直線のグラフが右下がり a<0 切片が負の数なの 数と負の数の積なので P.20 (1) 直線の式を y=ar+ T 30 7=ax4+6.4a+b=7. 1/2=ax(-2)+b20 ①、②を連立方程式と

黄色マーカーのとこの式がなんの公式を利用してるか教えてください！

基本 例題 81/2直線の交点を通る直線 00000 2直線x+y=4=0 ①, 2x-y+1=0 たす直線の方程式を,それぞれ求めよ。 (1)点(-1,2)を通る ･･････ ② の交点を通り, 次の条件を満 A 基本80 |指針 (2) 直線x+2y+2=0に平行 2直線 ①②の交点を通る直線の方程式として、次の方程式 ③を考える。 k(x+y-4)+2x-y+1=0 (kは定数) (1) 直線③が点 (1,2)を通るとして, kの値を決定する。 (2)平行条件 aiba,b=0 を利用するために,③を x, yについて整理する。 133 CHART 2直線f=0,g=0 の交点を通る直線 kf+g=0 を利用 んは定数とする。 方程式 ② 解答(x+y-4)+2x-y+1=0 ...... ③ 別解として, 2直線の交 点の座標を求める方法 3章 138 直線の方程式、2直線の関係 は, 2直線 ①②の交点を通る直線 を表す。 (-1,2) 0-8 ら (1) 直線 ③が点 (-1, 2) を通るか -3k-3=0 4 10 (e- すなわち k=-1 これを③に代入して -(x+y-4)+2x-y+1=0 すなわち x-2y+5=0 (2)③ x,yについて整理して (k+2)x+(k-1)y-4k+1=0,464 直線 ③ が直線x+2y+2=0に平行であるための条件は よって k=-5 (k+2).2-(k-1)・1=0 これを③に代入して -5(x+y-4)+2x-y+1=0 すなわち x+2y-7=0 もあるが、 左の解法は今 後、重要な手法となる (p.168 例題 106 参照)。 検討 与えられた2直線は平 行でないことがすぐに わかるから 確かに交 わる。 しかし, 交わる かどうかが不明である 2 直線 f = 0, g=0 の 場合, kf+g=0 の形 から求めるには,2直 線が交わる条件も必ず 求めておかなければな らない。 参考 ③ の表す図形が, [1] 2直線 ①,②の交点を通る [2] 直線である ことを示す。 [1] 2直線の傾きが異なるから, 2直線は1点で交わる。 その交点(x, y) は, xo+yo-4 = 0, 2xo-yo+1=0を同時に満たすから,kの値に関係なく, k (xo+yo-4)+2xo-yo+1=0が成り 立ち, ③は2直線 ①②の交点を通る。 [2] ③ を x, yについて整理すると (k+2)x+(k-1)y-4k+1=0 k+2=0, k-1=0 を同時に満たすkの値は存在しないから, ③は直線である。 なお、③は,kの値を変えることで, 2直線 ① ② の交点を通るいろいろな直線を表すが、 ①だ けは表さない。 練習 2直線x+5y-7=0, 2x-y-4=0の交点を通り, 次の条件を満たす直線の方程式 ③ 81 を それぞれ求めよ。 (1)点(-3,5)を通る (2) 直線x+4y-6=0に (ア) 平行 (イ) 垂直

赤線の部分がよく分かりません。どなたか教えていただけるとうれしいです。

別解 の数を書き込んでいくと、右の図 のようになる。 よって 18通り Q 18 ←本冊 p.302 参照。 3 9 6 B 3 3 3 2 3 P 1 1 PR (1) 8個のりんごを A, B, C, D の4つの袋に分ける方法は何通りあるか。 ただし, 1個も入 #29 れない袋があってもよいものとする。 (2)(x+y+z)の展開式の異なる項の数を求めよ。 (1)8個の○でりんごを表し, 3個ので仕切りを表す。 このとき,8個の○と3個のの順列の総数が求める場合 〇〇〇〇〇〇-00 の数となるから 例えば は (A, B, C, D) Cg=11C3= 11.10.9 3.2.1 (2132) を表す。 165(通り) 別解異なる4つの袋 A, B, C, D から重複を許して8個取る 組合せの数と同じであるから Hg=4+8-1C8=11C8=11C3=165 (通り) (2)(x+y+z) を展開したときの各項は, x, y, zから重複を 許して5個取り、それらを掛け合わせて得られる。 5個ので x, y, zを表し、2個ので仕切りを表す。 このとき5個の○と2個の|の順列の総数が求める場合 の数となるから Hy=n+r-Cr 例えば 0010100 xyz は xyz2 を表す 。 7.6 7C5=7C2= -=21 (個) 2.1 PR P30 $30 別解 異なる3個の文字から重複を許して5個取る組合せであ るから 3H5=3+5-1C5=C2=21(個) (1)x+y+z=9 を満たす負でない整数解の組(x, y, z) は何個あるか。 (2)x+y+z=7 を満たす正の整数解の組 (x, y, z)は何個あるか。 (1)求める整数解の組の個数は9個の○と2個のを1列に 並べる順列の総数と同じであるから 11.10 =55 (個) C=C2= 2.1 別求める整数解の組の個数は, 3種類の文字 x, y, zから 総数と等しいから 11! でもよい。 219!

黄色線のところって≦≧じゃだめですか、？

B 問題 (1) 等差数列 19, 23, 27, … について,第10項から第20項までの和 S を求めよ。 (2) 等差数列 32,496683 ••••••について, 300 と500 の間にある項の和 12m x *22 ☑ Sを求めよ。 初 6m 章 数列

①と②が負の重解をもつのはなんでダメなんですか？

(1) 定数 αの値を求めよ。 放物線y = x2 … ① と円 x2 + (y-a)=1 例題 267 面積[7] ･･･ 円と放物線で囲まれた部分数 D ★★★☆ ・② は異なる2点で接する。 思考のプロセス (2)円②の外側で, 放物線 ①と円②で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 (1)円と放物線が接する条件は,例題 111 参照。 A (2)S= _ )dx としたいが, D A 円 ②はy=±√ 1 x2 +α となり, 積分計算できない。 見方を変える P A A Q P Q P Q P Q P P a x y Action» 円と曲線で囲まれた部分の面積は、まず中心角を求めよ 解 (1) ①,②より, xを消去すると y+(ya)²=1次数が低くなるようにx y2-(2a-1)y + α-1 = 0 を消去する。 yを消去し 例題 111 よって (3) ①と② が異なる2点で接するのは,③が正の重解をも つときである。 て考えることもできる。 ③の判別式をDとすると D=0 D= {-(2a-1)}² - 4(a² − 1) = −4a+5 -4a+5 = 0 より a = 5 4 このとき, ③は 32 .2 3 9 x+ 2 0 16 これは正の重解 y = 3 4 をもつから a = (2)y= 3 4 ①に代入すると x=+1 √3 よって, 接点P, Q の座標は 2 y (一)で あり、②の中心をAとすると ∠PAQ= 120° 54 例題111 〔別解 1 ) 参照。 SID=0 かつ f(y)=y-(2a-1)y+α-1 の軸の直線 01 y = 8 2a-1 2 >0 から αの値の範囲を求めても い 実際に 「正の」 重解に なることを確かめる。 181 5 A 4 3 A 4 ① 60°- P P √√3 2 2 √3 O 2 √3 XC 2 ∠PAO=60° より ∠PAQ =120° 1 360° 2 12. sin 120°) Q P ① したがって, 求める面積 S は (31S= 3 L(x²)dx-(7.12. 120° 4 3 2 ( πC √3 3 4 4 3/3 π 一 3

数学のベクトル方程式について質問です。 写真の問題が分かりません。 具体的には写真二枚目の、矢印しているところが どうしてそうなるのか分かりません。 絶対値を外すなら全部を二乗するから、（ｘ-3）二乗と （y-1）二乗だけが残るのはなんでだろう、、と思いました。 教えてく... Read More

2/721 243 156 ベクトル方程式 (II) 1) var 4点0(0,0), A3, 0) B(2.2) C (4,1) が与えられている. 点P(x, y) が 3OP - OA-OB-OC=3 をみたしているとき myのみたす方程式を求めよ .08.05 (S) 精講 155 と同様に考えていけばよいのですが、 変数tが入っているわけ ではありませんから、少しやりやすいと思います。 解答 30P-OA-OB-OC=3(x, y)-(3, 0)-(2, 2)-(4, 1) |(r-3, y-1)|=1 =3(x-3, y-1) ..(x-3)2+(y-1)²=1 (別解)与えられた条件式を3でわると P 1

下線部についてなんですけどなんでf(-x)がf(x)ってわかったんですか?😭

(2) Sxexdx p.208 基本事項 2 基本 例題 131 • 偶関数 奇関数の定積分 次の定積分を求めよ。 (1) SEE COS cosxdx CHART & SOLUTION a SDの定積分 偶関数は2,奇数は 0 偶関数 f(x)=f(x) : グラフは軸対称 奇関数 f(x)=f(x): グラフは原点対称 解答 |(1) y=cos'x のグラフは y軸対称。 YA (1) f(x) =cosx とすると f(x)=cos^(-x)=cos'x=f(x) よって、f(x)は偶関数である。I=cos'xdx とすると 2 π I=2 =2fpcosxdx=2S (1-sinx) cosxdx sinx=t とおくと cosxdx=dt xtの対応は右のようになる。 π XC 0 2 ゆえに1=2d=21-1] t 0 =2(1-1)=1 4 別解 3 (解答の3行目までは同じ。) 3倍角の公式から -π 2 1 TC TX