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基本 例題43 2解の関係と係数の決定
75
(慶応大)
2次方程式x-6x+k=0について,次の条件を満たすように, 定数kの値を定
基本 41
めよ。
(1) 1つの解が他の解の2倍
一変。
6, (イ) は
1つの解が他の解の2乗
Ap.72 基本事項D
>解の公式からx=3± 9-k として計算すると大変 (特に(2) が面倒)。解の関係から係数
(定数 k)の値を求めればよいのだから, 解と係数の関係 の利用を考える。
2つの解を α, Bとすると
(1) 1つの解が他の解の2倍であるから,B=2αとおいて④に代入すると
里すると
2章
α+β=6, aβ=k ……… A
α+2α=6, α2α=k
よって,2つの解を α, Bとせずに, 最初から α, 2αと表せばよい。
(2) も同様で,最初から2つの解を α, α*と表して計算する。
-1, B-1
方程式を新
そして、作
対し,解と
用する。
CHART 解と係数の問題 解と係数の関係を書き出す
解答
(1) 2つの解は α, 2α と表すことができる。
α+2α=6, α·2α=k
3a=6, 2a°=k
解と係数の関係から
すなわち
このとき,与式にk=8 を
代入すると
x-6x+8=0
(x-2)(x-4)3D0
ゆえに x=2, 4
ゆえに =2
このとき
k=2·2?=8
三代入して
(2) 2つの解はα, α* と表すことができる。
α*a°=k
α+a=6,
解と係数の関係から
すなわち
α2+a-6=0
0, α=k
(α-2)(α+3)=0
α=2のとき k=8, α=-3のとき k=-27
k=8, -27
のから
よって
Q=2, -3
もよい。
2から
したがって
1つが他の平方 →s e?
2解の表し方 比がp:q
差がp
pa, qe(αキ0)
→ a, α+p
POINT
こり,
検討検算
例えば,(2) においてk=-27のとき, x°-6x-27=0から
ゆえに,x=-3, 9となり, 確かに1つの解9は他の解 -3の2乗になる。
解答には書かなくてもよいが, このように検算して確認しておくとよい。
9
(x+3)(x-9)=0
2
(1) 2次方程式xー(k-1)x+k=0の2つの解の比が2:3となるとき, 定数kの
(群馬大)
17
練習
(2) xの2次方程式x-2kx+k=0 (kは定数)が異なる2つの解α, α*をもつと
【千葉工大)
(p.85 EX32
43
値を求めよ。
き, αの値を求めよ。
9解と係数の関係、解の存在範囲
