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基本例題 126 連立漸化式 (2)
数列{an}, {bn}をa=1, b,=-1, an+1=54-4b, bn+1=an+bnで定めるとき
(1) an+1+xbx+1=y(an+xb²)を満たすx,yの値を求めよ。
(2) 数列{an}, {bn}の一般項を求めよ。
指針 p.575 基本例題 125 (1) と同様に, 〔解法1] 「等比数列を利用」の方針によって解けばよい。
an+xb.=(a+xbi)y
(2) (1) から 数列 (an+xb.) は公比yの等比数列となり
これに α = bats-b を代入し, an を消去すると
bn+1=(1-x) b.+ (②2+xbi)y"-1
①
+= pa.+α型の化式 (p.564 基本例題118) に帰着。・････...
よって, ① の両辺をy"+ で割ればよい。
解答
(1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(an+bn)
=(5+x)an+(-4+x)bn
よって, an+1+xbn+1 = y (an+xbm) とすると
(5+x)an+(-4+x)bm=yan+xybn
これがすべてのnについて成り立つための条件は
5+x=y, -4+x=xy
5+x=yを4+x=xy に代入して整理すると
x2+4x+4=0
ゆえに x=-2
したがって 求めるx, yの値は
(2) (1) から
これに α = bn+1- 6m を代入すると
bn+1=36+3
an-2bm=3.3"-1 = 3" すなわちa=26+3
& HA
*****
an+1=b+2-bati
これらを①に代入して
bn+2-6b+1+9bn=0
特性方程式
解くとx=3 (重解)
an+1-2bn+1=3(an-2bn)
よって, p.573 基本例題124
よって, 数列{an-26 ) は,初項α-26, 3, 公比3の等比 と同じ方針で、 まず一般項b
数列であるから月
を求める。
x=-2, y=3
3¹
bn
3"
bn+1 bn
1
3+1 3" 3
両辺を 3 +1 で割ると
b₁
数列{2}は,初項 12/1=11/11/13 公差 1/1/3の等差数列で
=.
+
あるから --1/3+(n-1)-1-12
.
よって
基本118,125
an=3"-¹(2n-1), b=3"-¹(n-2)
[[解法2] [1つの数列
に関する漸化式に帰着させ
る] の方針による解答
an+1=5an-4bx
bsity=ax+bn
② から an=b+1-bs.
******
②
6x+9= 0 を
44,00
Jr!
<an+1=pan+g型は両辺を
g" +1 で割る(p.564 参照)。
a=26+3" に代入
(基
1
