例題 313 図形と漸
半径1の円 G に内接する正三角形を △PQR と
し,△PQR の内接円を C2 とする。 △PQR と
R2とし, △P2Q2R2
円 C2 の接点をP2,
2, Q2 R2 とし, AP2Q2R』の内接
円を C3 とする。 この操作を繰り返してできるn個
目の円をCとする。
(1) 円 C の半径を求めよ。
GP
R2
Q2
P2
R₁
けてQ
(2)円 C の面積を Sn とするとき, S = S1+S2+... +Snを求めよ。
P
たけお
Cn
規則性を見つける
n個目と (n+1) 個目の図形をかき, それらの関係から
Cati
Rn+1/
r n
漸化式をつくる。
rn+1
一辺の比や相似比に着目する。
(2)Sn=πrnより, {S}がどのような数列か考える。
(1) 円の半径rn と円 Cn+1 の半径 n+1 の関係式をつくる。
Qz
Pn+1
/ R
思考プロセス
解(1) この操作でできるn個目の正三角形を △PQnRn とす△PzQnRz はすべて正三
る。 右の図において, 0は正三
角形 PnQnRnの外心であるから
∠OQP+1 = 30°
∠OPn+1Qn = 90°
Action » 繰り返し行う操作は, n番目と (n+1) 番目の関係式をつくれ
(8)
D
角形であることに注意す
る。
Cn
P, ()
XC+1
60°
Rn+1
Q+1
①
ゆえに
OQn=20P n+1
30°
rn+1
よって
rn=2rn+1
Qn
Pati
すなわち
rn+1
=
1
2
Qn
30°Pn+1
Rn
OQ OP+1 = 2:1
rn
