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感本例題105 数列の極限(4)…はさみうちの原理1
183
OO0
COS nT
を求めよ。
の)
n
極限 lim
n→0
1
11
とするとき, limanを求めよ。
2) an=
n+1
n+2
っ2.
n?+n
する
n→0
4章
p.174基本事項3
編限が直接求めにくい場合は,はさみうちの原理 の利用を考える。
14
針>
数
列
はさみうちの原理 すべてのn について anS CnS b, のとき
定形
lima,=lim b,=« ならば limc,=α (不等式の等号がなくても成立)
極
n→0
n→o
n→0
限
COS nT
どの
(1) anS
n
<bnの形を作る。それには, かくれた条件 -1<cos0<1 を利用。
1
く
THAH
におき換えてみる。
1
(k=1, 2, ……, n) に着目して, anの各項を一
n?+k
CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち
40 ()
解答
1
COS nT
1
-1Scos nnハ1であるから
(各辺をnで割る。
n
n
n
1
=0であるから
常に,。
COS nT
lim
n
はさみうちの原理。
lim--)=0, lim-
n→0
n
n→o n
ガ→00
n°+k>n°>0
1
2)
n'+k
n)であるから
1
1
1
an=
n?+1
n°+2
n+n
1
1
1
4各項を一
でおき換える。
1
く
n?
*n=
n
n?
n°
n'
40SlimanS0
1
よって 0<anく-
n
-=0であるから liman=0
lim
n→0
n→0
まっ
学ぶ
n→o n
焼討はさみうちの原理を利用するときのポイント
はさみうちの原理を用いて数列{cn} の極限を求める場合,次の ①, ② の2点がポイントとなる。
CnSC,Sb,を満たす2つの数列 {a.}, {b.} を見つける。
2つの数列 {a,}, {b.} の極限は同じ(これを αとする)。
なお, Oに関して, 数列 {an}, {bn} は定数の数列でもよい。
が
0, ② が満たされたとき
0
lim c,=α
n→0
機習| 次の極限を求めよ。
105
(2n)0。
(p.197 EX79,80
(2) Him+1(n+2)
5よ
1
nπ
-sin
2
n→0
n→0 n+1
1
1
(3) lim
Vn+n
Vn°+2
2
n+1
n→0
押着 を 入」
C10」
V:
