1次不定方程式で、ユークリッドの互除法の逆を利用して1つの整数解を求めた後答えを導くという問題がありますが、「ユークリッドの互除法の逆」の意味がよく分かりません。どういう定義なのでしょうか… あと1つ気になった問題がありました 7x+5y=345 という1次不定方程式を解... Read More

一次不定方程式です！かっこからの整理する計算の過程がわからなくなりました💦解説お願いしますｯｯｯ

1= 13 - 3×4 小さい色を変形 = 13 - (29 - 13 × 2) × 4 整理 = 13 × 9-29 × 4 小さい色を変形 (42 - 29 × 1)×9- 29 × 4 整理 = 42 × 9- 29 × 13 小さい色を変形 = 42 ×9-(155 - 42 × 3) × 13 整理 = 155 ×(-13) + 42 × 48

⑵の解き方を教えてください🙇‍♀️

(1) 互いに素である2つの自然数 a, bを考える。このとき, qを整数とすると, 6, せよ。 (2) 相異なる2つの自然数 A, Bを考える。AをBで割ったときの余りをRとすると, A と BのG.C.M. は, BとR のG.C.M. と等しいことを示せ。 - bq は互いに素であることを証明

互除法の問題です 問題では100までの自然数なのに、写真の赤線の部分で、なぜ2から101までの範囲になっているのか教えて欲しいです

2数A, Bの最大公約数を(A, B) で表す。 (リ 7n+4 と 8n+5 が互いに素になるような 100以下の自然数nは全部でいく 次に、式の係数や次数を下げる要領で変形していくとよい。 最大公約数が関係した問題では,p.546 基本事項 互除法の応用問題 142 例題 2つの整数。 ることを示せ。 m. nの最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一致す 549 不 つあるか。 一例題141 aとbの最大公約数 いくと考えやすい。 a=bq+r 式の関係を a=bq+r の形に表す。 等しい bとrの最大公約数 (1) 3m+4n=(2m+3n)·1+m+n. 2m+3n=(m+n)·2+n, t m+n=n·1+m =-) 0-(1+) (3m+4n, 2m+3n)= (2m+3n, m+n) 差をとって考えても よい。 3m+4n-(2m+3n) よって =m+n, += (m+n, n) 2m+3n-(m+n) =m+2n, =(n, m) m+2n-(m+n)=n. したがって,m, nの最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最 大公約数は一致する。 m+n-n=m 3m+4n=a m=3a-4b 別解 のとおくと 2 12m+3n=b mとnの最大公約数をd.aとbの最大公約数をeとする。 0より,aとbはdで割り切れるから,dはaとbの公約数 である。ゆえに 同様に,2より,eはmとnの公約数で esd 3, ④から したがって,最大公約数は一致する。 (2) 8n+5=(7n+4)·1+n+1, 7n+4=(n+1)·7-3 ゆえに n=36-2a m=dm', n==dn' a=ea', b=eb' と すると,①は [d(3m'+4n')=a d(2m'+3n')=b 2は [e(3a'-4b')=m le(36'-2a')=n dse. の d=e (87+5, 7n+4)= (7n+4, n+1)= (n+1, 3) 7n+4 と 8n+5は互いに素であるとき, n+1 と3も互いに a=bq-rのときも 素であるから,n+1 と3が互いに素であるようなnの個数 を求めればよい。 の見 の」 ま 2Sn+1<101 の範囲に, 3の倍数は 33個あるから, 求める 自然数は (a, b)=(b, r) が成り立つ。p.54€ の解説と同じ要領て 証明できる。 100-33=67 (個) 76 の新であるこ

水色線･黄色線を引いた部分がどのようにして矢印の式になるのかが分かりません。教えて下さると嬉しいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

(1) 方程式 109x-35y =1 …① の係数 109 と 35について 練習244 次の方程式を満たす整数 x, y の組をすべて求めよ。 (1) 109x-35y=1 (2) 71x+195y = 2 1不定方程式を満たす1組 の整数解が簡単に見つか らないときは,ユークリッ ドの互除法の手順を利用 する。 109 = 35 ×3+4 より 109-35×3=4 35 = 4×8+3 より 35-4×8=3 *3 4=3×1+1より 4-3×1=1 ④に③を代入して 4-(35-4×8) ×13D1 4×9-35×1=1 2を代入して (109-35×3)×9-35×13D1 109×9-35×28 3D 1 6より, x=9, y=28 は方程式① を満たす。 109(x-9)-35(yー28) = 0 6 0-6より 109(x-9) = 35(y-28) …6 109 と 35 は互いに素であるから, x-9は35の倍数となる。 よって,x-9= 35n (nは整数)とおくと ⑥に代入して 7 章 x= 35n+9 109× 35n = 35(y-28) 20の改は y= 109n+28 18 ゆえに 08 したがって,求める整数 x, yの組は (x= 35n+9 (n は整数) =D 109n+ 28 不定方程式を満たす1組 2) 方程式 市 ふ 備尚に目 っか の係教71 と195 について 71 10C ユークリッドの互

途中からですが答えで言うと⑥のところでなぜ6-xになるのかがわかりません。また、私の回答で間違っているところも教えて欲しいです🙇‍♀️

練習 次の不定方程式の整数解を求めよ。 255(1) 63x+29y=1

だいぶ端折っていますがかなりぐちゃぐちゃになってしまいました。 どこからだめですか？

考え方例題 254 のように特殊解を求めたいが, 係数が大きいため実際に値を代入して求める 方程式の整数解3) 例 題 255 また。 ① 不定方程式 57x+13y=1 の整数解を求めよ。 (不ポ一 のは困難である。そこで,ユークリッドの互除法を用いて特殊解を求める。 おHlo 解答 方程式 57x+13y=1 ユークリッドの互除法を用いる. ………0の係数 57 と 13について 57=13×4+5 より, 13=5×2+3 より,13-5×2=3 5=3×1+2 より、5-3×1=2 3=2×1+1 より, 57-13×4=5 -③ veta+xS にさ宝不太一 ④ つse 志 3-2×1=1 6に④を代入して, この方 3-(5-3×1)×1=1 していの して特殊3×2-5×1=1ができる。 これに3を代入して, (13-5×2)×2-5×1=1 ax+by ( sa(er (2 0 8E 1 er この方。 13×2-5×5=1 +た, これに②を代入して, をを低した 13×2-(57-13×4)×5=1 。d のちの。 x=-5, y=22 が (証明したがって, 0-6より, 57(x+5)+13(yー22)=0 57(x+5)=13(22-y) o…の 57 と 13は互いに素であるから, x+5は13の倍数となる したがって,kを整数として,一o (例) 52.x+5=13k, すなわち, これをのに代入すると, 57k=22-y より, よって,求める一般解は, の x=13k-5, y=-57k+22 (kは整数) 57×(-5)+13×22=1 6 のの解の1つ E8+8- x=13k-5 57×13k=13(22-y) y=-57k+22 らかるぶ Focus 1482 与えられた方程式の係数が大きい場合は, 係数について こ方ユークリッドの互除法を利用して考える 0×効と るこ

（2）のピンクでマーカー引いてるところが 理解できません。分かる方教えていただきたいです。よろしくお願いします🙇‍♀️

(1) 2m+ Sn=3を満たす整数 m, nの組(m, n)をすべて求めよ。 (2) 23m+19n=3を満たす整数 m, nの組(m, m)をすべて求めよ. (1)2-(-1)+5-(1)= 3である.よって, 2m + 5n = 3 ) 2-(-1)+ 5-1=3 2(m+1)+ 5(n-1)=0 2(m+ 1)=-5(n-1)=10k (kは整数) となる(2 と5は互いに素なので).これを解いて, (m, n)= (Sk-1, 1-2k) (kは整数) (2)ユークリッドの互除法により 23=19·1+4, 19=4·4+3 さ であるから a=23, b=19 とおくと 9-D=ヤ 3=b-4.4==b-4(aーb)=-4a+ 5b=23.(-4) + 19·5 である.よって + 19n 23m =3 ー)23.(-4) + 19·5=3 23(m+ 4) + 19(n-5) = 0 . 23(m+ 4)=-19(n-5) =437k (kは整数) となる.(:23 と 19 は互いに素)これを解いて、 (m, n)= (19k-4, 5-23k) (kは整数)

数A 青チャート 例題130から質問です。 ノートに書いた記述の流れで考え方は合っているか、説明不足なところはないか教えていただきたいです。 また、この問題から学ぶべきポイントを教えていただきたいです。

M,nは mz0,nz0 である (i) n-0aとき 次が3の依枚のとさ 20-3m+5nと表せる C= 3mm Or)h1のと ア3M+5 えがうで割りった余りが2のとき 2-3m+5n と表せる 3 (m+1)+21 m-0のとき ただじス=2のときはとこ3m+5れて表せてない G) n=2のとさ X= 3m+10 Xがろで割ってた余り)が1のき 2=3m+5nと表せない - 3(m43)+1 0aとき m- 7に7だし大=14.71は2ろm+shと表せdい また大=3m+5nて表せらめる正の整数の miれは ス=3m+5n = 3.1+5·1 = 8 であり れz3のとき 2= 3m+5n 15 になるから nz3 のときすべてス-3m+5n と表せられる したがって スころm+5n と表せない正の整数文は 1.2,4.1

赤線のところで3007割る97筆算しても答えがでなかったんですけど（割り切れない）どうやってもとめるんですか？

不定方程式 最大公約数 最小公倍数(2 ISZ 除法を用いるとよい。 L=abG A. B, Cの最大公約数である。 (1) 3007=1649×1+1358 1649=1358×1+291 1358=291×4+194 291=194×1+97 194=97×2 よって,求める最大公約数は, まず 3007 を1649 で って余り 1358 を求店 次に1649 を1358 - さる って余り 291 を求 これを,余りが0 るまで繰り返す。 L6 3007=31×97, 1649=17×97 (2) (1)より, よって,求める最小公回奴は, 31×17×97=51119 97 は素数 Te0 L6 3007 1649 I1 L=abG (3) 234=208×1+26 208=26×8 まず 208 と 23- 公約数を求めこ より,234 と 208 の最大公約数は, 26 ここで、26 と 325 の最大公約数を考えると, aの最大公約数 325=26×12+13 求めた26 と残 a e 13 は素数 e 13 )208 2 26=13×2 より, 13 したがって,求める最大公約数は, また。 208=2*×13, 234=2×3°×13, 325=5°x13 したがって、 よって,求める最小公倍数は, 46800 96 13 それぞれ 2*×3°×5°×13=46800 る。 1 2つの自然数の最大公約数を求める際に、 ーAはコークリッドの互除法を