練習 さいころを振る操作を繰り返し、 1の目が3回出たらこの操作を終了する。 3以上の自然数nに
⑤57対し、7回目にこの操作が終了する確率をPとするとき, n の値が最大となるnの値を求めよ。
[京都産大〕
は, (n-1) 回までに1の目が2回、 他の目が (n-3) 回出て,
n回目に1の目が出る確率であるから
n-3
1
¹ C₂ ( 12 ) ² ( 6 ) * ³ × ¹ = (n − 1) (n − 2). 57-3
6 26
pn=n-1
よって
Pn+1 n(n−1)_5″−²
pn
=
Dn+1 >1 とすると
Pn
5
6
< 1 とすると
−) 2
2 6+1 (n-1)(n-2) 5-3
n
n-2
5n
>1
6(n-2)
6(n-2)>0 であるから5n>6(n-2)
よって, 3≦n≦11 のとき
Pn<Pn+1
X
Pn+1
Pn
よって, n ≧13のとき
pn=pn+1
なお,n=12のとき,
ゆえに
<pa<・・・・・・<p12, 12 13, P13 >14>......
よって, pnの値が最大となるのはn=12, 13 のときである。
5n<6(n-2)
Pn> Pn+1
Pn+1
-=1となるから
Pn
51-3
62+(n-3)+1
ゆえに n>12
6"
5"-2
6+1 5-3
5"-3
6"
5(n-3)+1 6n
6-6 5-3
ゆえに<123であるから
6(n-2)>0
$1009053
11
5
6
5n
6 (n-2)<1の両辺に
正の数 6(n-2) を掛け
分母を払う。