赤線引いたところ、cos²θ/2 を求めてルートを付けてるのかなって思うんですけど、 cosθ/2 の二乗は cos²θ/2 なんですか？？2は二乗されないんですか？🙇‍♂️

日本 例題 131 2倍角、半角,3倍角の公式 丸く曰くπで sing= 1 のとき, sin 20, cos- 00000 2' COS30の値を求めよ。 p.208 基本事項 3 CHART & SOLUTION 2倍角, 半角, 3倍角の公式 sino, coso, tan の値が基本 sin20=2sincos, cos20 1+cos 2 2 cos を求める必要がある。 -, cos30=-3cos0+4cos 0 であるから, まず また, 符号に注意。 <B<から cost<0 πC 8 → 4 <からcos/1/20 COS 解答 << 0πであるから cos <0 よって ゆえに sin20=2sin Acos0=2. 3 cos0=-vl-sin'=-1 √1-(1)² = 2√2 02 1+cos 0 2 1 2√2 3 4√√2 == 9 1-2√2-3-2√2 sin 0+ cos20= 2倍角の公式 次に COS2 半角の公式 2 6 π 0 πC 0 <<πより、 であるから COS >0 ← の範囲に注 4 2 2 よって COS 02 3-2√2 √3-2√2 = 6 √6 2-1 6 2√3-√6 6 また cos30=-3cos+4cos' --3-(-2√2)+4(-2√2)=-10√2 27 +√3-2√2 =√(√2-1)2 =√2-1 (2重根号を 3倍角の公式 忘れたら, 加 導く。 p.220 PRACTICE

(1)なのですが、2つの解がともに2以上ということは、重解は入らないのではないのでしょうか！！ この解答では判別式D≧0となっているので混乱してしまいました🥲 どなたか分かる方教えてください！！🙇‍♀️

xについての2次方程式 x2 (α-1)x+a+6=0 が次のような解をもつよ な実数αの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) 2つの解がともに2以上である。 (2)1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい。 .76 基本事項 5 基本 CHART & SOLUTION 実数解 α, β と実数の大小 a-k, β-kの符号から考える (1) 2以上とは2を含むから,等号が入ることに注意する。 a≧2,B≧2⇔ (a-2)+(β-2)≧0, (α-2) (B-2)0 (2) α <2<β または β<2<α⇔ (α-2)(β-2)<0 解答 「と」 x2-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα,βとし, 判別式を Dとすると D={-(a-1)}-4(a+6)=α-6α-23 解と係数の関係により a+β=a-1, aβ=a+6 (1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の① ② ③ が同 時に成り立つことである。 D≧0 (a-2)+(β-2)≧ 0 Linf. 2次関数 C f(x)=x2-(a-1)x+a このグラフを利用すると (1) D≧0, (軸の位置) ≧2, f(2)≥0 a-1 2 ① (a-2)(B-2)≥O ****.. ③ ①から a2-6a-23≧0 I>n>E ゆえに a≦3-4√2,3+4√2 ≦a ④ ②から a+β-4≧0 ゆえに (a-1)-4≥0 よって a≥5 ⑤ ③から aβ-2(a+β)+4 ≧ 0 見ない。 ゆえに(笑)α+6-2 (α-1)+4≧0(よってa≦12 ...(6) ④ ⑤ ⑥の共通範囲を求めて [1] [2] 3+4√2 ≦a≦12 (2) α<2<Bまたは<2<αであるための条 を満たす Ef(2) a (2) f(2)<0 (p.765 補足 参照 3-4/2 5 3+4/2 ④件は #1 (a-2)(B-2)<0 このとき,D> よってα+6-2(4-1)+4<0 これを解いて α>12 立っている。 (6.75

赤線ひいたところなんでですか？🙇‍♂️

要 例題 105 連立不等式が整数解をもつ条件 00000 xについての不等式x2-(a+1)x+a<0,3x2+2x-1>0 を同時に満たす整 数xがちょうど3つ存在するような定数αの値の範囲を求めよ。 [摂南大〕 基本 33.93 C 重要 103 CHART & SOLUTION 連立不等式 数直線を利用 不等式の左辺を見ると、 2つとも因数分解できる。 2-(a+1)x+α<0 は文字αを含むから、重要例題103と同様、αの値によって場合を分 けて解を求める。 解の共通範囲に含まれる整数値の考察には、数直線の利用が有効である。 解答 x2-(a+1)x+α<0 から (x-a)(x-1)<0 ←1 よって X_1→-1 →a→-a α <1 のとき a<x<1 a=1のとき 1 a -(a+1) (x-1)2<0 から 解なし この1<a のとき 1 <x<a ① (x-1)2は常に0以上。 3x2+2x-1>0 から (x+1)(3x-1)>0 よって x-1.1/2<x ② ① ②を同時に満たす整数xがちょうど3つ存在するのは a < またはa>1のときである。 [1] a <1 のとき 右の図から, a<x<-1 の範 囲の整数が-2, -3, -4で あればよい。 よって [2] α>1 のとき 2- ① -51-4-3-2-10:1 x 1 a 3 -5≦a<-4 右の図から, 1 <x<a の範囲 の整数が2,3,4であればよ (1) 白い。 ←13 -1 0 1 2 3 4 5 x 12 a よって 4<a≦5 以上から -5≤a<-4, 4<a≤5 11/23 <x<1には整数は含 まれない。 3章 a=-5 のとき,①は -5<x<1 となり、 x=-5 が含まれず条件 を満たす。 a=-4 のとき, ① は 4<x<1 となり, x=-4 が含まれず条件 を満たさない。 (p.61 ズーム UP 参照。 11 2

マーカーのところでなにが起こっているんですか？？

証明せよ。 CHART & SOLUTION 数学的帰納法 (基本) n=1のときを証明 ① MOITUJO 420 基本事項 1 [2] n=kのときを仮定し, n=k+1 のときを証明 式を証明するのであるから,左辺, 右辺それぞれを計算して, 両者が等しいと結論する。 または、左辺 (または右辺) を変形して, 右辺 (または左辺) を導く。 解答 [1] n=1のとき (左辺)=1,(右辺)=1/12(3'-1)=1 目標 ゆえに,①は成り立つ。 のときり 013 ( [2] n=k のとき ① が成り立つと仮定すると 1+3+3²+.....+3*−1=-12 -(3-1) n=k+1 の場合を考えると ...... (*) ② ← ① に n=k を代入。 ②から1+3+3°+………+31+3=1/12(3-1)+3*) +1のときに ①の左辺のnをk+1 して、 ② を代入 2- 1 (3.3k-1) 1 = 11/12 2 辺に n=k+1 を代 た式。 as (3-1) 3-1) 2.00 [1], [2] から すべての自然数nについて等式①は成り立つ。 よって, n=k+1 のときにも ①は成り立つ。 INFORMATION 上の解答の中の (*) の部分 「n=k+1 の場合を考えると」 は, もっと短く 「n=k+ のとき」と書くこともある。 また, 省略せずに書くと,次のようになる。 「n=kの場合の式②を仮定して, n=k+1 の場合の式をこれから証明する。」

赤線引いたところ、なぜ2つの方程式はともにその式になるんですか？問題文で与えられたうちの右の式に代入したらそうなりますがなぜ[ともに]なんですか！🙇‍♂️ あと、2個目の赤線でα‬を②に代入してるのもなんでですか？①に入れたらだめなんですか🙇‍♂️

136 F 重要 例題 81 方程式の共通解 2つの2次方程式 2x+kx+4=0, x+x+k=0 がただ1つの共通の実数 00000 基本 77 解をもつように、定数kの値を定め、その共通解を求めよ。 CHART & SOLUTION 方程式の共通解 共通解を x=αとして方程式に代入 2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式にx=αを代入した2a2+ka+4=0, +α+k=0が成り立つ。これをα,kについての連立方程式とみて解く。「実数解」という 条件にも注意。 解答 共通解を x=α とすると 2a2+ko+4=0 ...D, x=α を代入した①と ②の連立方程式を解く。 Q+α+k=0 ② ← α2 の項を消す。 ①-② ×2 から (k-2) α+4-2k=0 すなわち (k-2)a-2(k-2)=0 よって (k-2)(a-2)=0 ゆえに k=2 または α=2 [1] k=2 のとき 2つの方程式は、ともに x'+x+2=0 その判別式をDとすると となる。 D=1-4・1・2=-7 D<0 であるから, ③は実数解をもたない。 よって, k=2 は適さない。 [2] α=2のとき 22+2+k=0 共通の実数解が存在する ための必要条件であるか 逆を調べ,十分条件 であることを確かめる。 ←ax2+bx+c=0 の判別 式は D=62-4ac ②から よって k=-6 このとき2つの方程式は 2x2-6x+4=0 ... D', となり,①'の解はx=1, 2 x²+x-6=0 ...... ②' 2(x-1)(x-2)=0, ②' の解はx=2, -3 (x-2)(x+3)=0 よって、確かにただ1つの共通の実数解 x=2 をもつ。 [1], [2] から =-6, 共通解はx=2

青の丸で囲ってある-2はどこから出てきたのでしょうか？

54 基本 例題 31 相加平均・相乗平均を利用する最小値 00000 (1)x>0 のとき,x+の最小値を求めよ。 x (2) x>0 のとき, x+ 9 の最小値を求めよ。 x+2 p.42 基本事項 基本30 CHART & SOLUTION 積が定数である正の数の和の最小値 (相加平均) ≧ (相乗平均) を利用 相加平均と相乗平均の大小関係 bab において,ab=k (一定)の関係が成り立っ 2 とき,a+b≧2√k からα+bの最小値を求めることができる。 ただし,等号の成立条件の確認が必要である。 (2)積が定数になるように定数を補い, (相加平均) ≧ (相乗平均)を利用。 解答 (1)x>0, 1>0であるから,相加平均と相乗平均の大小関 相加平均と相乗平均 関係を利用する 9 9 係により x+-≧2x. =2.3=6 x 2数が正であるこ を明示する。 9 9 等号が成り立つのはx= すなわち x=3 のとき。x=からx2=9 x よって, x=3 で最小値6をとる。 x>0 であるから x (2)x+ 9 x+2 9 =x+2+ --2 x+2 2つの項の積が定 よって 9 x>0より x+2>0, -> 0 であるから,相加平均と相 つの x+2 乗平均の大小関係により 20 92(x+2)9=23 9 x+2 x+9=x+2+ -2≥6-2=4 'x +2+ x+2 ゆえに x+2 x+2 等号が成り立つのは x+2=- x+2 のとき。 このとき (x+2)2=9 x+2> 0 であるから x+2=3 ゆえに x=1 なるように, x+20 を作る。 0x ゆえにエキエート 式の値が4になる なxの値が存在す とを必ず確認する。 等号成立は 9 x+2= x+2 かつ x+2+ したがって, x=1で最小値4をとる。ともされ ゆえに 9 x+2

なぜ、｜2x-4｜<x+1が2x-4≧0になるのかがわかりません。

4 基本 例題 36 絶対値を含む不等式 (場合分け) 00000 次の不等式を解け。 (1) |2x-4|<x+1 (2) | x-2|+2x+1|≦6 基本 35 CHART & SOLUTION 絶対値は 場合分け 基本例題 35と同様, 場合分けで絶対値記号をはずして解く。 絶対値記号内の式が 0 となるxの値が場合の分かれ目。 (2)2つの絶対値記号内の式が0となるxの値は2,1 よって, x<-1, -1≦x<2, 2≦x の3つの場合に分けて (2) x-2<0 x-2≥0 x+1<0x+10 2 解く。 解答 (1) [1] 2x-4≧0 すなわち x≧2 のとき, 不等式は 2x-4<x+1 [1] よって x<5 ① x≧2との共通範囲は 2≦x<5 ...... [2] 2x40 すなわち x < 2 のとき,不等式は -(2x-4)<x+1 すなわち -2x+4<x+1 よって x>1 [2] 12 1 <x<2.･････ ... ② x<2との共通範囲は 不等式の解は ①と② を合わせた範囲で 1 <x< 5 1 5x > >8 (2)[1] x<-1 のとき,不等式は隠 [1] -(x-2)-2(x+1)≦6 よって -3x≦6 ゆえに x<-1 との共通範囲は 2≦x<-1 [2] -1≦x<2 のとき, 不等式は 1 x≥-2 -2-1 X ...... ①[2] ② -(x-2)+2(x+1)≦6 よって x≤2 -1 2 -1≦x<2 との共通範囲は -1≤x<2 [3] 2≦x のとき, 不等式は よって 3x ≤6 2≦x との共通範囲は x=2...... 3 不等式の解は ①~③を合わせた範囲で [3] ②-=3 x-2+2(x+1)≦6 ゆえに ③ 2 -2≤x≤2 05-22 (1) 2 % =8 PRACTICE 36Ⓡ 28 次の不等式を解け。 (1)千葉工大] (1)|3x-4|<2x (2) 3|x+1|≧x +5 (3)3|x-3|+|x|<7 (1)

(3)の等号が成立するのはどのようなときか、という問題はどうなれば等号が成立すると考えられるのか忘れてしまったので教えてください！！🙇‍♀️ 分かる方お願いします！！

(2) 2>4x-7 CHART & SOLUTION a2+3b2≧3ab p.42 基本事項 2 大小比較 差を作る AB⇔ A-B> (左辺) (右辺の式を (1) 因数分解。 (2) (実数) 正の数に変形。 (3) (実数)2 + (実数) に変形。 注意 一般に,不等式 A≧B の証明においては,問題で要求していない限り、 必ずしも等 号が成り立つ場合について書く必要はない。 解答 (1) (2ab+1)-(a+26)=2ab+1-a-26 =(26-1)a-(26-1) =(a-1)(26-1) ここで,a>1,6/12/28 から b> a-1>0,26-1>0 よって (a-1)(26-1)>0 ゆえに 2ab+ 1 > a +26 (2) x2(4x-7)=x²-4x+7 =(x2-4x+4)-4+7 =(x-2)2+3> 0 よって x2>4x-7 差を作る。 ◆ αについて整理して共 通因数でくくる。 xについて平方完成する。 (x-2)203> 0 nya 2 (3) (a2+362)-3ab=a²-3ab+ +362 3 2 3 -6 + -620 4 よって a2+362≧3ab (a-3) ≥0, b²≥0 (実数)2 + (実数)2≧0 を利用。 等号が成り立つのは,a-1236=0 かつ 6=0,すなわち a=b=0 のときである。

・例題63の（I）ではaの中央値を使って場合分けしてるのに対して、PRACTICE63の（I）ではaの中央値を使わずに場合分けしている理由がわかりません。 ・同様に例題63の（2）はaの中央値を使わずに場合分けしているのに対して、PRACTICE63の（2）ではaの中央値を... Read More

「水の 2 基本 例題 63 (1) 最大値を求めよ。 は正の定数とする。 x における関数 f(x)=x2-4x+5 (2.1) 定義域の一端が動く場合の関数の最大・最小 000 (2) 最小値を求めよ。 について (1)定義域 0≦x≦aの中央の値はである。 [1] p.107 基本事項 2 [1] 0<<2 すなわち 0<a<4 のとき 最大 図 [1] から, x=0で最大となる。 最大値は f(0)=5 CHART & SOLUTION 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大・最小 軸と定義域の位置関係で場合分け 定義域が0≦x≦a である から文字αの値が増加する と定義域の右端が動いて,x の変域が広がっていく。 したがって,αの値によって, 最大値と最小値をとるxの x=0x=a 値が変わるので場合分けが必要となる。 x=0 x=a x=2 軸 軸 区間の 右端が 動く 区間の 右端が 動く [2]11/12 すなわち a=4 のとき 図 [2] から, x=0, 4 で最大となる。 最大値は f(0)=f(4)=5 [2] 最大 最大 x=0 x=a x=0 (1) y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから,軸からの距離が遠いほどの値は きい (p.110 INFORMATION 参照)。 よって、定義域 0≦x≦αの両端から軸までの距離が等しくなる(軸が定義域の中央に、 致する)ようなαの値が場合分けの境目となる。 [1] 軸が定義域の 中央より右 [3] 軸が定義域の 定義域の両 [2] 軸が定義域の 中央に一致 軸 端から軸ま での距離が 等しいとき 中央より左 「軸」 最大 1 最大 最大 最大 定義域 定義域 の中央 の中央 定義域 の中央 _2) y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから,軸が定義域 0≦x≦α に含まれてい れば頂点で最小となる。 よって、軸が定義域 0≦x≦a に含まれるか含まれないかで場合 分けをする。 [4] [5] 軸が定義域 軸が定義域 の外 の内 最小 最小 答 ■)=x2-4x+5=(x-2)2+1 基本形に変形。 関数のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=2である。 x=0 x=4 [3] 21 すなわち 4<a のとき 図 [3] から, x=α で最大となる。 最大値は f(a)=a2-4a+5 [3] 最大 [1]~[3]から 113 [1]軸が定義域の中央 x=1/23より右にあるか 5.x=0 の方が軸より 遠い。 よってf(0)>f(a) [2]軸が定義域の中央 x=1/2に一致するから、 軸とx=0,α(=4) との 距離が等しい。 よってf(0)=f(a) 最大値をとるxの値が 2つあるので, その2つ の値を答える。 [3]軸が定義域の中央 x = 1/2 より左にあるか ら、x=αの方が軸より 遠い。 よってf(0) <f(a) ◆答えを最後にまとめて 0<a< 4 のとき x=0 で最大値 5 a=4 のとき x = 0, 4 で最大値5 α>4 のとき x=αで最大値α-4a+5 x=0 x=a x=2x=1/2 (2) 軸 x=2 が定義域 0≦x≦a に含まれるかどうかを考える。 |軸 [4]軸が定義域の右外にあ るから、軸に近い定義域 の右端で最小となる。 [4] 0<a<2 のとき [4] 図 [4] から, x=αで最小となる。 最小値は f(a)=α-4a+5 [5] 2≦a のとき ･最小 [5] 軸が定義域内にあるか x=a 図 [5] から, x=2で最小となる。 最小値は ら、頂点で最小となる。 x=0 x=2 f(2)=1 [5] [4],[5] から 0<a<2 のとき x=αで最小値 α-4a+5 答えを最後にまとめて 。 最小 a≧2 のとき x=2で最小値1 x=0x=21 x=a PRACTICE 63 ③ αは正の定数とする。 0≦x≦a における関数f(x)=-x+6x について (2) 最小値を求めよ。 (1) 最大値を求めよ。 3 8

この二項定理はどうして出てきたのでしょうか！ 覚えるしかないんですかね？？ わかる方教えてください！！🙇‍♀️

次の値を求めよ。 (1) Co+Ci+n2+....+nCr+......+nCn (2) Co-nCi+nCz+(-1)*nCr+....+ (−1)" nCm ...... (3) Co-2nC1+22nC₂+(-2)" Cr+... CHART & SOLUTION C に関する式の値 +(-2)"nCn pp.12基 二項定理 (a+b)"=„Coa"+"Cia"-16+nCza"-262+…+nCrab+..+nCzb の等式に適当な値を代入 二項定理と似た問題ととらえて、結果を使うことにする。 二項定理において, α=1, b=x とおいた次の等式 STEP 数学Aで る。組合 1 nC 異なる nCr= (1+x)"="Co+"Cix+nC2x2++nCrx+…+nCmx" をスタートにして、この式の右辺のxにどんな値を代入すると与えられた式になるかと える。 解答 二項定理により (1+x)"="Co+nCx+nCzx2+... +nCrx+......+nCnx" ① 異な ① (1) 等式① に, x=1 を代入すると (1+1)"="Co+nC1・1+nC2・12+......+nCr·1" よって +......+nC・1" nCo+nCi+nCz+......+nCr+......+nCn=2" (2) 等式① に, x=-1 を代入すると ①のnCrx”がCとな ればよいから, x=1を 代入する。 ■この等式については、 p.193 を参照。 (1-1)"=„C+„C・(−1)+„C2・(-1)2++,C-1)①のC.xが(V) よって nCo-nCi+nCz+(-1)'n Cr) +......+rC (-1)” (−1) +....+(-1)*C=0 (3) 等式① に, x=-2 を代入すると (1-2)"=C+C1・(-2)+C2(-2)^+......+Cr.(-2) となればよいから、 x=-1 を代入する。 ①のnCrx”が (2)', C, となればよい から、x=-2 を代入 +....+nCm・(-2) 出会 る。 よって 元Co-2 C1 +22 C2-+(-2)' n Cr +......+(-2)",C=(-1)"