関数f(x)=arー(α+3)エ+a+3について, 次の問いに答えよ.ただし, aは0でない実数とする.
(1) f(z)の導関数をf'(z)とする. zの方程式f'(z)=0が実数解をもつようなaの範囲を求
め,またそのときの実数解をすべて求めよ。
(2) ェの方程式f(z)=0が3個の異なる実数解をもつようなaの範囲を求めよ。
(宮城教大)
f(a)f(B)の正負で解の個数がわかる
f(a)f(B)が,正,0, 負のどれであるかによって,f(z)=0… ① の解の個数が分かる。
(i)f(α)f(B) <0 → f(a)とf(B)は異符号 【f(α)f(B)<0なら, α+B]
(i)f(a)f(B)=0 → f(a)=0 またはf(B)=0
()f(a)f(B)>0 → f(a)とf(B)は同符号
であることに注意すれば, (i)~()のグラフは, (f(z)の°の係数が正とする)
3次関数y=f(z)が, エ=a, Bで極値を持つとき,
AAAhA
となる.実数解の個数は, グラフとェ軸の共有点の個数なので, ①の実数解は,
(i)のとき3個
(i)のとき2個
()のとき1個
■解答
(1) f(z)=3ar-(a+3)であり, a+0, f'()=0より,
左辺は,a>0のとき正なので,
o 0>a>-3のときは負, -3>c
のときは正となる。
a+3
a+3
22=
3a
右辺が非負のとき,
(=±y)とおく。
3a
x=土
a+3
N0. この左辺は, a=0, -3の前後で符号変化し, aミ-3, 0<a
3a
-3
0
