7. [スタンダード 33]
aは定数とする。2次関数 f(x) = x?- 2ax + a+2について考える。
(1) 0SxS3における f(x) の最小値をmとするとき,mをaを用いて表しなさい。
(2) 0SxS3において常にf(x) >0となるようなaの値の範囲を求めなさい。
【解答の】
(1) f(x) = (x -a)? - a? + a+2
(i)a<0のときm=f(0) = a+2
(i) 0SaS3のとき m=f(a) = -a? + a+2
(道)a>3のときm=f(3) =
(2) 最小値が正となればよい。
(i)a<0のとき
5a + 11
m>0 →
a+2>0
a>-2
よって,-2<a<0
(i) 0SaS3のとき
m>0 →
-a? + a+2>0
-1<a<2
台
よって,0Sa<2
()a>3のとき
11
m>0
-5a+ 11> 0
a<
5
a>3より不適。
(i),(i),(m)より,-2 <a<2
【解答2】
(2) f(x) > 0 → x?+2>a(2x- 1)
ここで,y=x?+2 の接線で(, 0)を通るものを考える。
y'= 2x より,x=tにおける接線の方程式は,y = 2t(x - t) + t2+2= 2tx-t? +2
1
x =
ラソ=0を代入すると,
t-t?+2= 0 → (t+ 1)(t -2) = 0 →
このとき接線の方程式は,y= -2x + 1, y= 4x -2
t=-1, 2
2点(0, 2)(0)を通る直線はy= -4x + 2
よって,x? +2> a(2x - 1) を満たすaの範囲は
x
-4<2a<4
-2<a<2
-10
2