Question

なずな

添付写真の問題（2）についてです。
解答②で解こうとしたのですが何をしているのかよくわからなく、手が止まっています。
aは傾きと捉えるのでしょうか？
不等式の右辺を0にしたいから（1/2，0）が出てくると思ったのですがその意図もよく分からなくなってしまっています。
解説の意味（どうしてこの式が立てられるのかなど）が分かる方、詳しく教えてください🙇‍♂️

7. [スタンダード 33]
aは定数とする。2次関数 f(x) = x?- 2ax + a+2について考える。
(1) 0SxS3における f(x) の最小値をmとするとき,mをaを用いて表しなさい。
(2) 0SxS3において常にf(x) >0となるようなaの値の範囲を求めなさい。
【解答の】
(1) f(x) = (x -a)? - a? + a+2
(i)a<0のときm=f(0) = a+2
(i) 0SaS3のとき m=f(a) = -a? + a+2
(道)a>3のときm=f(3) =
(2) 最小値が正となればよい。
(i)a<0のとき
5a + 11
m>0 →
a+2>0
a>-2
よって,-2<a<0
(i) 0SaS3のとき
m>0 →
-a? + a+2>0
-1<a<2
台
よって,0Sa<2
()a>3のとき
11
m>0
-5a+ 11> 0
a<
5
a>3より不適。
(i),(i),(m)より,-2 <a<2
【解答2】
(2) f(x) > 0 → x?+2>a(2x- 1)
ここで,y=x?+2 の接線で(, 0)を通るものを考える。
y'= 2x より,x=tにおける接線の方程式は,y = 2t(x - t) + t2+2= 2tx-t? +2
1
x =
ラソ=0を代入すると,
t-t?+2= 0 → (t+ 1)(t -2) = 0 →
このとき接線の方程式は,y= -2x + 1, y= 4x -2
t=-1, 2
2点(0, 2)(0)を通る直線はy= -4x + 2
よって,x? +2> a(2x - 1) を満たすaの範囲は
x
-4<2a<4
-2<a<2
-10
2

Answer 1

✨ Best Answer ✨

unknown

右辺は（1/2，0）を通る直線の式なんですよー

それが左辺より下にあればいいってことです！

unknown

右辺を0にしたいのではなく、aがどんな値でもその点を通るってことです！

なずな

お返事ありがとうございます、遅くなってしまい申し訳ないです🙇‍♂️🙇‍♂️
教えて頂いたところはおかげさまで理解できました！！

そのあと解いていて変域がx=3のときも有り得ると思うのですがその時の直線の傾きが最大にならないのでしょうか？
x＝1/2が最大となる理由がよく分からなくなってしまっています。
再度の質問になり申し訳ないです。宜しければご教授お願いします🙇‍♂️🙇‍♂️

unknown

要は直線が(3，11)を通るときってことですか？

それだと左辺＞右辺にならないんですよね。0≦x≦3の範囲で常に直線は放物線より下にならないといけないです。なので接線になるときが傾きの最大値です。

なずな

お返事ありがとうございます！！

左辺＞右辺とは添付写真の黄色マーカーのところでしょうか？
ここにX＝3を代入すると11>5aとなり、aの値によって不等号の向きが変わるのではないかと考え、混乱しています。
（3，11）を通るとき、どうして左辺＞右辺にならないと分かるのでしょうか。
度々すみません。宜しくお願いします🙇

unknown

この解答は放物線と直線の位置関係を考えてるんですね。式を考えるというより解答図のように図形的に処理してます。

傾きが増加していくと、放物線と直線が2点で交わってしまいます。そうすると、放物線＞直線が成り立たないんですよ。

問題では0≦x≦3の範囲で"常に"といっているので、0≦x≦3の範囲では常に放物線が直線より上になければいけません。

図示すれば分かると思うんですが（3，11）を通るときは直線が放物線より上にある部分が0≦x≦3であります。なので左辺＞右辺が常に成り立たないんですよ。

なずな

実際に図示したら仰っていることが理解できました。
式ばかりに目がいってました、親身にありがとうございました🙇‍♂️
とっても助かりました！！