例題103の⑵の問題で一般項が2のK乗−1になる理由がわからないので教えて下さい

25540 基本例題 103 一般項を求めて和の公式利用 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。 (1) 12,3252, 指針 次の手順で求める。 ① まず,一般項を求める→第k項をnの式で表す。 k=1 を利用。 解答 与えられた数列の第k項をak とし 求める和をSとする｡ (1) a=(2k-1)² よって 練習 100 ②2 (第k項)を計算。 Σk, k, k3 の公式や、場合によっては等比数列の和の 注意 1 で,一般項を第n項としないで第k項としたのは,文字nが項数を表してい からである。 (2) ak=1+2+2+ ...... +2-1 一等比数列の和 等比数列の和の公式を利用して ak を ん で表す。 CHART Σの計算 まず一般項 (第k項) をんの式で表す よって Sn = ak= (2k-1)² = Ž (4k²—4k+1) k=1 k=1 72 n =4Σk²-4Σk+≥1 k=1 k=1 k=1 (2) 1, 1+2, 1+2+2², = 72 (2) a=1+2+2²+......+2k-1-1. (2² − 1) 2-1 k=1 - = 4• n(n+1)(2n+1) — 4• ½ n(n+1)+n =1/13n{2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3} = n(4n²-1) = n(2n+1)(2n−1) 3 k=1 00000 -=2¹²-1 基本102 重要 114 次の数列の初項から第n項までの和を求め上 Sn=as2 (2'-1)=22-21 k=1 2(2-1) n=2"+1-n-2 2-1 注意 和が求められたら, n=1,23として検算するように心掛けるとよい。 <第k項で一般項を考える 11/12でくくり 分数が出てこないように する｡ ak は初項1,公比2, の等比数列の和。 S.=2(22-12 すこともできる。 【基: 次 指針 - し

なんで無言等比級数の和はa/1-rになるのですか？

2 無限等比級数 8 うになる。 [1] α=0 のとき 無限等比級数 Σarl=a+artar²+..+ar”-1+・・・・・・ の収束、発散は,次のよ |=1 |r | <1 ならば 1024 DESY $3**** 530 $58 STE マ その和は 収束し, r≧1 ならば 発散する。 [2] α=0 のとき 収束し, その和は 0 n-1 amil → 1-r r すなわち arn-1=- n=1 a 1-r boil sucifft 4章 11 無限級数

なぜこの最後の式のようになるのか教えてください！

2N Σ CR k=1 = C₁+C2 +C3+C4 +C5+C6 +.. + C2N-1+ C2N N Σ (C₂m-1+C2m). m = 1

群数列です。 模範解答と書き方が違っていますが、 意味は同じですか？ できれば、途中からの解答の仕方も教えてくださると嬉しいです。黄チャートの意味が理解できなくて🥲

97 群数列の基本 ・本 例題 から順に自然数を並べて,下のように1個 2個 4個 となるよ HORA 80 うに群に分ける。 ただし,第n群が含む数の個数は2個である。 1|2, 3|4, 5, 6,78, (2) 第n群に含まれる数の総和を求めよ。 (1) 第5群の初めの数と終わりの数を求めよ。 CHARTO O SOLUTION 群数列の基本 第に群の最初の項や項数 に注目 SISTO 例題のように,群に分けられた数列 2 ...... k=1 2²-1-2-1-1 = 2-1 I) 第4群の末頃までの項の総数は 1+2+22+2=15 第5群の末項までの項の総数は 1+2+22+2+24=31 よって,第5群の初めの数は 16, 終わりの数は31 E- (n=2のとき,第(n-1) 群の末項までの項の総数は n-1 区切りを入れる と分け方の規則 がみえてくる 2008> A 群数列 を群数列という。 (1)第4群の末頃までの項の総数を N とすると,第5群の初めの数は,自然数の 列の第(N+1)項である。また, 自然数の列の第1項の数は1となる。 (2) 連続する自然数の和であるから公差1の等差数列の和で,あとは初項と項 数がわかればよい。 初項は (1) と同様にして求まる。 項数は問題文から,すぐ にわかる。 =2n-1-1 [類 京都産大〕 もとの数列 ****** 重要 98 区切りをとると もとの数列の規 則がみえてくる (1+r) 20001 ゆえに、第n群の初めの数は (2'-' - 1) +1 すなわち 27-1 これは n=1のときにも成り立つ。 PAST よって、第2群に含まれる数の総和は,初項が 2"-1, 公差が 項数が2" の等差数列の和となるから 求める和は ・2"-1{2・2"-1+(2″-1-1)・1}=2"-2(3.2"-1-1)=2232-1) n-1 Σ2-1は,初項1,公比 k=1 2の等比数列の初項か ら第 (n-1)項までの和。 [別解 第n群の終わりの数 は2"-1であるから, 和は 1.2"-'{2"-'+(2"-1)} 485 3章 12 種々の数列

(2)なんですけど答えのやり方は私分からないので違うやり方があれば知りたいです説明もして欲しいです

201 次の和を求めよ。 *(1) Σ(5k+4) *(4) n k=1 8 Σ k=1 (²-2) n Σ(k²-4k) (2) k=1 7 (5) ≤ (2k+4-3k²) k=1 →教p.87 例 13, p.88 例題 8 *(3) Σ(k+1)(k+3) n k=1

数Bの数列シグマ計算について質問です。この式ではシグマの上にnでなくn-1がついているため、青四角で囲ったところの分母は2でなく-1されて1になるのではないでしょうか？どうして1/2になるのか教えていただきたいです。

解答 よって,ます, 階差数列を (1) an+1= n(n+1) (2) (1)から 1 n-1 1 n+2 n 1 + (n+1)(n+2)__n(n+1) ™ (n+1)(n+2) bn+1=bn+(n+1)(n+2) an -=b とおくと Janti an+1 の両辺を (n+1)(n+2) で割ると =1+ /=1+ bn+1-bn= n=1のとき n-1 bn=b₁+ ΣCR=1+2 = k=p 1 1 2 -g(n) 2 bn+1 - bn=Cn とおくと また,b=10=1であり,n≧2のとき n-1 1 k=1\k+1 k+2. 3) + (-1) + + ( + 2 +1) 3\ n+1/ Ootenti 1 n+1 an 1 (n+1)(n+2) 25 = ① anri= pantg" Cn= 3 2 3 1 3 1 2 1+1 2 2 = 数列{bn}の一般項を求め 1 n+1 = n+1 1 1 n+1 n+2 - 11 = 1 n+2 B Aa a 酒 b=1であるから,①はn=1のときも成り立つ。よって Layou 3 a=n(n+1) b=n(n+1)(2+₁) = n(n+1) 2 NIJO

これnとｎ−1の公式どう使い分けるんですか？

•ll Y!mobile) 63510 公式 n Σ k=1 n k=1 n k=1 n =n k=1 k == n(n+1) k2 23:33 1 + 1)(2n + 1) |k²³3 = = n²(n+1) ² ▼30% 7 2乗 次は、 ∑の上のnがn-1になった公式で す。 Σの上のnがn 1 に変わったときに の基本公式のnの部分に n-1を代 プライバシー 利用規約

(1)の解説の5行目以降が全然分からないので教えてほしいです！

214 00000 重要 例題 128 複素数の累乗に関する無限級数 zを複素数とする。 自然数nに対し, 2” の実部と虚部をそれぞれxn とynとして、 2つの数列{x}, {y} を考える。 つまり, z" = xn+iyn (i は虚数単位) を満たして いる。 (1) 複素数zが,正の実数と実数0を用いて z=r(cos0+isine) の形で与え られたとき,数列{x},{y} がともに0に収束するための必要十分条件を求め よ。 1+3iのとき, 無限級数xとyはともに収束し,それぞれの和 10 n=1 (2) z=- はΣxn= n=1 指針 (1) まず, z=r(cos0+isine) の両辺をn乗した式に注目して, xn, yn をそれぞれn, r 0 で表す。 そして, xn2+ym² を計算するとの形になるから,数列{x},{yn} がともに 必要条件 0 に収束するとき, 数列{x^²+y^²} が0に収束するための条件を求める。 無限級数 部分和の収束・発散を調べる (2) 2 k まず,初項z,公比zの等比数列{z}の部分和 ②2 を求める。そして、 k=1 y=1である。 n=1 ②2=2xn+iye が成り立つことから,部分和之x, y が求められる。 J=1\ k=1 k=1 部分和の極限を調べる際は, (1) の結果も利用する。 解答 (1) z=r(coso+isin0) [r>0] のとき z"=r" (cosno+isinn0)=r” cos n0+ir "sinno よって ゆえに limxn=limyn=0のとき 12400 7248 Yk xn=r"cosno, yn=r"sinno x² + y²=(r) ² (cos² no+sin² n0) = (²)″ 330 lim(x₂²+y₂²)=0.00 (2) 2=1+√ i 10 k=1 のとき よって 0≤r² <1 > 0 であるから 0<r<1 (*) 逆に, 0<r<1のとき, -1≦cosn0 ≦1であるから -r≤r" cos no ≤r" 0<r<1であるから limr"=0, lim(-r") = 0 よって limr"cosno=0 780 -1≦sinn0≦1から,同様にして limr"sinn0=0 ◄-r≤r sin ne≤r" ゆえに、0<r<1のとき, 数列{x},{y} はともに0に収束する。 limx=0,limy=0 以上から 求める必要十分条件は 0<r<1 700 基本 118,119 00 _2(1-22-12 (1-(xn+iya)} z(1-z") ド・モアブルの定理。 ◄z"=xn+iyn +=c +5 無限等比数列が 0 に収 束する条件は -1< (公比) <1 (*) ここから, 十分条 件であることの確認。 はさみうちの原理。 初項z,公比zの等比 数列の初項から第n項 POAT までの和。

(4)の答えでどうしてΣの上がn+1になるのか分かりません。

(4) 1 2-6+18-54+･･・･・・+2・(-3)" 1\2-1) 1

数Bの数列の問題です 解き方がわからず、解説を読んでも途中式が書いていないためわかりません 教えてください🙇‍♀️

標準 12分 「図1のように、正方形のマスを,上からn行目には2n-1個のマスがあるように左右対称に並べ、次の 解答・解説 p.107 規則に従ってマスに数を書き入れる。 左から順に1列目 2列目.…としたとき、各列の最上行のマスには「1」を ・各列の最上行以外のマスには,ひとつ上のマスに書かれている数を2倍した数を書き入れる。 たとえば,上から3行目で終わる場合は図2, 上から4行目で終わる場合は図3のようになる。 1行目 2行目 の個数は ベクトルの イ m-1 2 m-l Σ[ k=1 2行目 のマスの個数を,それぞれ次のように考えた。 太郎さんの考え方 k= 1, 2, ..., . 1 ア 1 図 1 (1) m3以上の奇数とする。 太郎さんと花子さんは,左から順に列目まで並んでいるときのすべて GROY+ 2 m+ ・花子さんの考え方 n=1, 2, オ 2-1 サ 図2 I 21 4 ウ のとき、左からん列目にあるマスの個数は WI 21 ・花子さんの考え方 左から順に m列目まで並んでいるとき,上から オ ア 同じものを選んでもよい。 ⑩k ①m ②k-m③m-k ④ オ スの個数は Σ(21-1)で求められることを利用する。 l=1 Viton are であることを利用する。 1 2 1 4 2 1 1 2 4 18 4 2 1 1 12 k+1 -2 [⑤ 図3 €500 O で求められることを利用する。 を書き入れる。 GAN ☺☺ ☺ in オ | については,当てはまるものを、次の⑩〜⑦のうちから一つずつ選べ。ただし, m+1 ア |個であり,すべてのマス 行目まで並んでいることから,すべてのマ 500 CHECK k(k+1) [⑥ 2 RO² 2 porty m+ カ ⑦ 左から順に列目まで並んでいるときのすべてのマスの個数は キ (2) m3以上の奇数とする。 太郎さんと花子さんは,左から順に列目まで並んでいるときのすべて のマスに書かれている数の総和を,それぞれ次のように考えた。 ・太郎さんの考え方 k=1,2, ク m(m+1) 2 m-1のとき、左からん列目にあるマスに書かれている数の総和は 2 ( √5)=√ 1 (1 ケ 2 個である。 平 のとき,上からn行目のマスに書かれている数の総和は であることを利用する マスが全部で 64個あるとき、すべてのマスに書かれている数の総和はシスセである。 + シス