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基本例題 31 (相加平均) (相乗平均) の利用
(1)
a,b は正の数とする。 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 また、等号が成
り立つのはどのようなときか。
(12/12/24(2) (a+1/2)(6+1/4)29
解答
2 jp.48 基本事項 (5) 「重要 32」
指針 大小比較は差を作るの方針で証明してもよいが、次の相加平均と相乗平均の大小関係
を利用することもできる。
a+b
a+
別解
a
a00
≧√ab
等号は α=b のとき成り立つ
(2) 左辺を展開すると, (1) と似た部分が現れ、同様に処理できる。なお,a+1/22 9
46
6+1=2√/
b+
a
(1) 40,40であるから, (相加平均) (相乗平均)により
a
a+2²√/a.10
4
011(e
(a+4)-4=a²
として, 辺々掛け合わせると,うまくいかない (p.56
よって
4
よって
a+= ≥4
a
等号が成り立つのはa=4 すなわちa=2のとき。
a
(
の形がよく使われる。
a+b≧2√ab
Mant
a²+4-4a_ (a−2)²
a
a
a+ 1 ≥4
a
=2+2=4¹35
od 21 ab + 2√/ab.
4.
ab
参照
)。
かない(p.56参照)。
PORAZILE
したがって
等号が成り立つのは,α=2のときである。
JEOBRĄZAN24 $5
(2) (左辺)=ab+4+1+ =ab+ -+5
ab
abNP
ab>0, ->0であるから (相加平均) (相乗平均) により
4
ab
[@^<4> #&&
4
ab
4
ab
MO
M
(a + 1)(b + ²) = ab +- +524+5=9T
4
ab
*********
=2+2=41-60 |
詞 do S
[検討]
文字が正和に対し、積が定
数などの特徴をもつとき、
相加平均) (相乗平均)が
よく使われる。
4
Aa a=1 から a=4
a
a>0であるから a=2
これは次のように考えても
よい｡
等号が成り立つとき
a=²a+
a+
A
a
ゆえに
よって
等号が成り立つのは ab= すなわちab=2のとき。 Mugh
14074 098
ゆえに
a+a=4
よって
a=2
(2) の場合も、 等号が成り立
つとき
ab=
26-1 かつ abt.
ab
ab+ab=4
ab=2
4
ab
1章
6 不等式の証明
