m
-1を考える。
|10|mを正の整数とする。xの2次関数 f(x) =xーmx+
4
(1) f(x)S0を満たす整数がちょうど3個あるようなmの値を求めよ。(6点)
(2) 2次方程式 fx) 30が少なくとも1つの整数の解をもつようなmの値を並
めよ。【6点)
|2
1
112
m
Xー
2
m?
15
m
ー1=
4
m
解(1) f(x) =(x-
2
4
16
もつ。
個あるための必要条件は
f(x)の最小値は常に負であるから, 2次方程式f(x) =D0 は常に異なる2つの実数解と
その2つの実数解を α, β(α<β)とすると,f(x)S0を満たす整数がちょうど。
の
2S8-a<4
f(x) =0 すなわち x°ーmx+
m -1=0 を解くと
4
m土Vm?-m+4
2
ソ=f(x)|
x座標が整数の点
X=
したがって,
m-Vm"-m+4
2
m+Vm?-m+4
2
α=
B=
α
B
x
であるから
B-a=Vm?-m+4
ゆえに,①から
2S/m?-m+4<4
うる。
2<Vm?-m+4 から
よって, m(m-1)20 であるから
Vm?-m+4<4から
よって,(m+3(m-4)<0であるから
のかつのとmが正の整数であることから
4<m?-m+4
mS0, 1<m
2
m?-m+4<16.
-3<m<4
m=1, 2, 3
[1] m=1のとき
ー.B=であるから,f(x)<0 を満たす整数x は, x=0, 1の2個である。
2'
よって,不適。
[2] m=2のとき
2-V6
2
2+ V6
B=
2
であるから,f(x)ハ0 を満たす整数x は,
x=0, 1, 2の3個である。
[3] m=3のとき
3-V10.
3+V10
B=
2
であるから, f(x) ハ〇 を満たす整数xは、
a=
2
x=0, 1, 2, 3の4個である。 よって, 不適。
[1]~[3] から, 求める mの値は
m= 2
の
