Question

IK

なぜ下線部①がいえるのですか？
2枚目のように、α、βがどっちも整数値をとり、β-α=3のとき、①は満たしますが、問題文の条件を満たす整数って4つありますよね？

m
-1を考える。
|10|mを正の整数とする。xの2次関数 f(x) =xーmx+
4
(1) f(x)S0を満たす整数がちょうど3個あるようなmの値を求めよ。(6点)
(2) 2次方程式 fx) 30が少なくとも1つの整数の解をもつようなmの値を並
めよ。【6点)
|2
1
112
m
Xー
2
m?
15
m
ー1=
4
m
解(1) f(x) =(x-
2
4
16
もつ。
個あるための必要条件は
f(x)の最小値は常に負であるから, 2次方程式f(x) =D0 は常に異なる2つの実数解と
その2つの実数解を α, β(α<β)とすると,f(x)S0を満たす整数がちょうど。
の
2S8-a<4
f(x) =0 すなわち x°ーmx+
m -1=0 を解くと
4
m土Vm?-m+4
2
ソ=f(x)|
x座標が整数の点
X=
したがって,
m-Vm"-m+4
2
m+Vm?-m+4
2
α=
B=
α
B
x
であるから
B-a=Vm?-m+4
ゆえに,①から
2S/m?-m+4<4
うる。
2<Vm?-m+4 から
よって, m(m-1)20 であるから
Vm?-m+4<4から
よって,(m+3(m-4)<0であるから
のかつのとmが正の整数であることから
4<m?-m+4
mS0, 1<m
2
m?-m+4<16.
-3<m<4
m=1, 2, 3
[1] m=1のとき
ー.B=であるから,f(x)<0 を満たす整数x は, x=0, 1の2個である。
2'
よって,不適。
[2] m=2のとき
2-V6
2
2+ V6
B=
2
であるから,f(x)ハ0 を満たす整数x は,
x=0, 1, 2の3個である。
[3] m=3のとき
3-V10.
3+V10
B=
2
であるから, f(x) ハ〇 を満たす整数xは、
a=
2
x=0, 1, 2, 3の4個である。 よって, 不適。
[1]~[3] から, 求める mの値は
m= 2
の

Answer 1

monkeyなむ

1枚目の写真より
あくまで、【必要条件】です。
これが答えではないけど、この条件から絞っていく。という意味です。

2枚目の写真より
α−β＝3でα,βが整数→整数はちょうど4個
α−β＝3でα,βが整数でない→整数はちょうど3個
※あくまで必要条件を考えているだけなので、満たす可能性があるものを考える。α−β＝3で、整数がちょうど3個はありえる。つまり、必要条件である。

Answer 2

ブドウくん

あくまで「①はちょうど3個整数があるための必要条件」なので, ちょうど3個整数があるならば2≦β-α＜4であって, β-α=3ならばちょうど3個整数があるとは言えないからだと思います。

ブドウくん

解答の方針としては, 必要条件で範囲を絞ってから, それぞれの十分性を確認している感じだと思います。

ブドウくん

ちょっとわかりにくいかもしれないので、日常的な例に言い換えてみると
アジアに住んでいることは日本に住んでいることの必要条件です。(日本に住んでいるならばアジアに住んでいるは成立)
それなのに, 質問者さんは「中国に住んでいることはアジアに住んでいることを満たしますが、中国に住んでいる場合、日本に住んでいることにならないですよね？」と質問しているのと同じです。この問題ではアジアに住んでいることで範囲をアジアに絞ってから、日本、中国、サウジアラビア...とそれぞれ確かめてるんです。

余計にわかりにくいですね。すみません。