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基本 例 13 ベクトルのな
(1) p正の数とし, ベクトル = (1,1)と6=(1, -p) があるとする。
とものなす角が60° のとき, の値を求めよ。
いま
(白)
| (2) à = (-1, 3), (m,n) (mとn は正の数), |=√5のとき, aと
解答
なす角は45°である。このとき,m, nの値を求めよ。
内について、
a.b=|a||6|cos 0, ab=ab+ab
の2通りで表し、これらを等しいとおいた方程式を利用する。
P.603 基本事項
(1)ではp,(2)では m,n の値がいずれも正の数であることに注意。
(1) ・6=1・1+1(-p)=1-p
|a|= √1²+1²=√2, |6|=√1²+(−p)²=√1+p²
a1= |a|||cos60°から
1-p=√√√√1+p² ×
成分による表現。
定義による表現。
①の両辺を2乗して整理すると
よって p=2±√3
-p2-4p+1=0
p=2-√3
ここで,①より, 1-p>0であるから
ゆえに
0<p<1
(2)16=5から 16=5__
①の右辺は正。 よって、
120であるから、
注意
①の左辺は 1-p>
が出てきたと
きは、かくれた条件
よって
m²+n2=5
O≥0,√ 0に注意
||=√√(-1)2+32=√10 であるから
1
a.t=|a||6|cos 45°=√10・√5.
=5
定義による表現。
√2
また, a1=1・m+3.n=-m+3n であるから
成分による表現。
-m+3n=5
ゆえに m=3n-5
②
②①に代入して
(3-5)2+n2=5
よって n2-3n+2=0
ゆえに
(n-1)(n-2)=0
これを解いて n=1,2n>0を満たす)
②から
n=1のときm=-2,
(1
(2
n=2のときm=1
も正の数であるから, 求める m,nの値は
m=1, n=2
練習 (1) p=(-3,-4) と g = (a, -1) のなす角が45° のとき,定数αの値を求めよ。
(2)=(1,√3) とのなす角が120°, 大きさが210 であるベクトルを求め
13
よ。
