Question

Arctic Wolf

絶対値のついた不等式の問題です

赤線を引いてある部分がイマイチ理解できません
具体的な数値を代入して検証してみても、
納得がいきません

また同じ問題を扱った別のサイトの解答には、
赤線の部分がありませんでした

この赤線の部分を解説してもらえる方、よろしくお願いいたします

24
実力判定
スケール
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
a+1>√2a+1
(1) α>0のとき
(2) a, b が実数のとき |a-b|≧|a|-|6|

が成り立つ。
a+1
(2)|a|-|6|≧0 のときと, |a|-|6|<0 のと
きに場合を分けて示す。
(3)
(証明終) (8点)
2
a
(4点)
(i)|a|≧|b|のとき
la-620, |a|-|6|≧0
だから,平方の差をとると
|a-6|-(|a|-|6|)2
=a-2ab+b2-(a-2|ab|+b)
=2(|ab|-ab)≧0
すなわち |a-b|≧(|a|-|6|)
2
よって |a-b|≧|a|-|6|
(8点)
(i) |a|<|b|のとき
|a-b>0,|a|-|6|<0
だから
|a-b|>|a|-|b
(10点)
以上から, a, bが実数のとき,不等式
|a-b|≧|a|-|6|
が成り立つ。等号が成り立つのは,(i)で
|ab=abのとき,すなわち, |a|≧|b|かつ
ab≧0 のときである。
(証明終) (12点)
L

7:03
ill 77
これで不等式の証明は完成!
次は等号が成立する条件を求めましょう。
等号が成り立つとき ⇒ 差が0になると
き
なので、 次の部分に注目してください。
=
(|a|+|b|)2-la + b/2
= (|a|² + 2|a||b| + |b|²) − (a + b)²
= (a2 + 2|abl + b2) - (a2+2ab +b2)
=
= 2|ab|-2ab
差が 「 = 0」になるためには
この部分が0になればいい
=2(|ab|-ab)
等号が成り立つのは,
|ab|- ab = 0 のときだから
絶対値がそのままはずせるのは
|ab| = ab
中身が0以上のとき
よって, ab≧0 のとき
最後も絶対値の性質を利用して求めています
ね!
study-line.com

Answer 1

✨ Best Answer ✨

長飛丸とら

｜ab｜=ab　について
左辺は絶対値がついているので0以上確定
逆に負にはならない

右辺はa,bは実数のためなんでもあり
つまり負、0、正全ての可能性有り

これが等式でつながっているということは
右辺は負になってはいけない
つまり細かく書くと

①　a ＜ 0　かつ　b ＞0　⇒　ab ＜ 0 ( × )
②　a ＜ 0　かつ　b = 0　⇒　ab = 0 ( ○ )
③　a ＜ 0　かつ　b ＜ 0　⇒　ab ＞ 0 ( ○ )
④　a = 0　かつ　b ＞ 0　⇒　ab = 0 ( ○ )
⑤　a = 0　かつ　b = 0　⇒　ab = 0 ( ○ )
⑥　a = 0　かつ　b ＜ 0　⇒　ab = 0 ( ○ )
⑦　a ＞0　かつ　b ＞0　⇒　ab ＞ 0 ( ○)
⑧　a ＞0　かつ　b = 0　⇒　ab = 0 ( ○ )
⑨　a ＞0　かつ　b ＜ 0　⇒　ab ＜ 0 ( × )

Arctic Wolf

回答ありがとうございます😊
右辺が負になってはいけない理由は分かりました

赤線を引いた部分の後半で、ab大なりイコール0の部分は分かるのですが、
赤線前半の|a|大なりイコール|b|の部分はまだ不可解な点が残ります
例えば、a=2.b=3の場合、ab＝6となり、後半は満たしますが、前半は満たしていません

この場合はどうしたらいいでしょうか？

長飛丸とら

これのことかな?
もしこのことなら、単純に(ⅰ)の場合ということわりがあるので
(ⅰ)の絶対条件である部分を転記しているだけです。

ちなみに
「a=2.b=3の場合、ab＝6となり、後半は満たしますが、前半は満たしていません」についてですが
( ⅰ) ｜は　｜a｜≧｜b｜のもとで行っているので　a=2 , b = 3という設定じたいが違反です

3枚目の別サイトの解説には記載がないのは特にそういった部分がないので書かれていません

Arctic Wolf

なるほど！そうだったのですね！
確かに見落としていました！

これでやっと腑に落ちました！
ありがとうございます😊

長飛丸とら

このような見落としは結構あります。

なんか変だな?おかしいな?なんで?ってなたったときは計算等を見直すのではなく
最初に問題文を見直したり、自分が今どの条件で解いているのかを見直すことを
優先すると意外に納得できることが多いですよ^^

Arctic Wolf

アドバイスありがとうございます！