ユークリッドの互除法の分野で、 等式a=bq+rをみたす自然数a,b,q,rについて、aとbの最大公約数が、bとrの最大公約数と等しくなる理由を教えて頂きたいです！

右の性質を知らない場合はどうしたらいいんですか、？

x-1=V2 (x-1)°=2 x=1+V2 のとき 『の形をなくすため、 V2 のみを右辺に残し。 両辺を2乗する。 大開の(十) 両辺を2乗して よって x°-2x-1=0 効 ゆえに,Bの値は エ0 OSー A=BQ+R において, x=1+V2 のとき B=0, A=-1で あるから CHART (1) (エ)は (2) O1 (オ,カキ)のピント B=0 であることを利用 頂一 -1=0·{(1+V2 )+(m+2)} する。 +(2m+n+5)(1+V2)+(3m+n+3) CHART A=BQ+R 整理すると (5m+2n+9)+(2m+n+5)/2 =0 m, nはともに有理数であるから, 5m+2n+9,-0+01 の 2m+n+5 も有理数。 よって 5m+2n+9=0, 2m+n+5=0 a, bが有理数のとき これを解くと m=*1, n=カキー7 取効一 a+b/2 =0 →a=b=0 iply よすも -p+4S ー1-0 0- 1=p 0=4 るを入外りるーtp

272（５）を教えていただきたいです。 写真２の解説で青マーカーの式なると書いてあるのですが、写真３の式にはどうしてならないのですか?

2つの自然数 A, Bの最大公約数を(A, B) で表すと ゆえに,n+1は5の倍数である。 よって、4n+9と 3n+8の最大公約数は n+1と5の最大公約数に等しい。 をすべて求めよ。 ただし、 次のことを用いてよりい。 等式 a=bq+r を満たす自然数a, b, q. rについて, aともの 271 次の2つの整数の最大公約数を,互除法を用いて求めよ。 最大公約数はbとrの最大公約数に等しい。 互除法 n+1=5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 n=4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49 圏 3n+8 。の最大公約数がらになるような50以下の自然。 4n+9 と 163 4n+9-(3n+8)·1+n+1, 3n+8=(n+1).3+5 れた そた、2名n+1S51 であるから したがって (4n+9, 3n+8)= (3n+8, n+1)=(n+1, 5) (1) 961, 217 *(2) 833, 646 (3) 498, 223 (5) 957, 754 (6) 1273, 469 *(4) 731, 301 99 次の等式を満たす整数x, yの継組を1つ求めよ。 63x+44y=2 *(3) 86x-49y=3 (1) 24x+19y=1 *(4) 95x+28y=1 # (5) 141x-52y=4 (6) 25x-61y%=9 (A CLear) 273 4984 と 3471の最大公約数を, 互除法を用いて求めよ。 B 74/ 4n+15 と 3n+13 の最大公約数が7になるような50以下の自然数nをす べて求めよ。 Ole B CLear - 個あるか。 ob 3章 登数の性質

別解の意味があまり分かりません😭細かく教えて欲しいです😭

割ったときの余りを, 更にx-3x+2 すなわち(x-1)(x-2)で割ったに承りを考。 一習|整式 P(x)を(x-3)°で割った余りが2x-5であり, x-1で割った余りが5 基本 例題54 剰余の定理利 整式 P(x)をx+1で割ると余りが一2, *- 3x+2で割ると会。 重要 基本53 指針> 例題 53 と同様に, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 を め 指針> 問題の条件から,このa, b, cの値を決定しようと考える。 43次式で割った余り 次以下の整式または。 P(x)を(x+1)(x-1)(x-2) で割ったときの商をQ(x), 余り をax'+bx+cとすると, 次の等式が成り立つ。 P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+ax+bxtc……… ここで, P(x)をx+1 で割ると余りは -2であるから 解答 人分金館 AB=0を考えて の また, P(x)をx°-3x+2すなわち (x-1)(x-2) で割ったとき の商をQ(x)とすると P(-1)=-2·… x=-1, 1, 2 I を代入し,a, b, com P(x)=( 1)(x- 2)Q(x)-3x+7 求める手掛かりを見っ (1 3, P(2)=1 4 ゆえに P(1)=4 よって,Oとの~④より a-b+c=-2, a+b+c=4, 4a+26+c=1 a=-2, b=3, c=3 -2x°+3x+3 (第2式)-(第1式)か。 26=6 すなわち s この連立方程式を解くと したがって、求める余りは 別解(上の解答の等式のまでは同じ] x-3x+2=(x-1)(x-2)であるから, (x+1)(x-1)(x-2)Q(x) はx°-3x+2で割り切れる。 O(*) ax*+bx+cを PCx)をでるエー。 tl1ま3.2 を解くときに有効である。 この解法は,下の練習 -3メイク ゆえに、 P(x)をx-3x+2 で割ったときの余りは, ax+ bx+cをパー3x+2 で割ったときの余りと等しい。 P(x)をx-3x+2で割ると余りは -3x+7であるから ax°+bx+c=a(x°-3x+2)-3x+7 x°-3x+2 で割ったとき 余りをR(x) とすると、 はaであるから P(x) =(x+1)(x-1)(x-200% +a(x°-3x+2)+Ra) =(x°-3x+2) ×{(x+1)Q(x)+a}+ 両辺にx=-1を代入。 よって,等式のは,次のように表される。 P(x)=(x+1)(x-1) (x-2)Q(x)+a(x°→3x+2)-3x+7 したがって P(-1)=6a+10 P(x)をx+1で割ると余りは -2であるから P(-1)=-2 ゆえに 6a+10=-2 よって -2(x-3x+2)-3x+7=-2x°+3.x+3 求める余りは a=-2 4るとき, P(x)を(x-1)(x-3)で割っ

線を引いたところから矢印になるまでの理由がわかりません

基本 例題53 剰余の定理利用による余りの問題 (1) OOOO0 (1) 整式 P(x) をx-1で割ると余りは5, x-2で割ると余りは7となる。 この とき, P(x)をx-3x+2 で割った余りを求めよ。 (2) 整式 P(x)をxー1で割ると4x-3余り, x-4で割ると 3x+5余る。 この とき, P(x)をx+3x+2 で割った余りを求めよ。 【近畿大) 【類慶応大) 基本 52 重要55 指針> P(x) が具体的に与えられていないから, 実際に割り算して余りを求めるわけにはいかな い。このような場合, 割り算の等式 A=DBQ+R を利用する。 … 特に,余りRの次数が割る式Bの次数より低いことが重要なポイント! 2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+b とおける。 条件から,この a, bの値を決定しようと考える。それには, 割り算の等式 A=BQ+R で、B=0 となるxの値(これを●とする)を考えて, P(●)の値を利用する。 基本等式 A=BQ+R 1Rの次数に注意 [2 B30 を考える CHART 割り算の問題 解答 (1) P(x)をxー3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったとき の商をQ(x),余りを ax+bとすると,次の等式が成り立つ。 P(x)= (x-1)(x-2)Q(x)+ax+b 42次式で割った余 1次式または定数。 B=(x-1)(x-2) 4剰余の定理。また, ⑦の 両辺にx=1を代入する P(1)=a+b 条件から P(1)=5 ゆえに a+b=5 P(2)=7 ゆえに 2a+b=7 2) と 0, 2を連立して解くと よって、求める余りは (2) P(x) をx+3x+2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったとき の商をQ(x), 余りを ax+bとすると, 次の等式が成り立つ。 a=2, b=3 2x+3 42次式で割った余りは, 1次式または定数。 る B=(x+1)(x+2) a, bの値を決定するため には, P(-1), P(-2) が必 要。そこで, ①, ② にそれ ぞれx=-1, x=-2 を代 入する。一全( P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b の また、P(x) をx?-1, x-4すなわち (x+1)(x-1), (x+2)(x-2)で割ったときの商をそれぞれ Q.(x), Q2(x) と P(x)3 (x+1)(x-1)Q.(x)+4x-3 (P(x)3 (x+2)(x-2)Q2(x)+3x+5 P(-1)=-7 P(-2)=-1 すると これと から a+b=-7 これとのから -2a+b=-1 求める余りは よりS のから のから 3, Oを連立して解くと a=-6, b=-13 -6x-13 (1) 整式 P(x) をx+2で割った余りが3, x-3で割った余りが-1のとき, P(x) (立教大) (2) 整式 P(x) をx+5x+4で割ると 2x+4余り, x+x-2で割ると -x+2余 るという。このとき, P(x) をx+6x+8 で割った余りを求めよ。 (東京電機大 Cp.4 EX36 練習 53 をーxー6 で割った余りを求めよ。

2番の線を引いたところになる理由がわかりません

基本 例題53 剰余の定理利用による余りの問題 (1) (1) 整式 P(x) をx-1 で割ると余りは5, x-2で割ると余りは7となる。この とき,P(x) をx-3x+2 で割った余りを求めよ。 (2) 整式 P(x)をxー1で割ると4x-3余り, x2-4 で割ると 3x+5余る。この とき, P(x)をx+3x+2 で割った余りを求めよ。 [近畿大) 【類慶応大) 割った 基本 52 重要55 指針> P(x) が具体的に与えられていないから, 実際に割り算して余りを求めるわけにはいかな い。このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 特に,余りRの次数が割る式Bの次数より低いことが重要なポイント! 2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから,R=ax+b とおける。 条件から,このa, bの値を決定しようと考える。それには,割り算の等式A=BQ- で,B=0 となるxの値(これを●とする)を考えて, P(●)の値を利用する。 基本等式 A=BQ+R 1 R の次数に注意 2 B=0を考える CHART 割り算の問題 解答 (1) P(x) をx-3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったとき の商をQ(x), 余りを ax+bとすると,次の等式が成り立つ。 (2次式で割った余りは, 1次式または定数。 P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b. P(1)=5 P(2)=7 AB=(x-1)(x-2) 剰余の定理。また, ⑦の 両辺にx=1を代入する P(1)=a+b 条件から ゆえに a+b=5 ゆえに 2a+6=7 2 と 0, 2を連立して解くと よって,求める余りは (2) P(x) をx°+3x+2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったとき の商をQ(x), 余りを ax+bとすると,次の等式が成り立つ。 a=2, b=3 2x+3 42次式で割った余りは, 1次式または定数。 の (B=(x+1) (x+2) a, bの値を決定するため には,P(-1), P(12) が必 要。そこで,O,②にそれ ぞれx=-1, x=-2を代 入する。一(x)円 P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b また, P(x)をx-1, x°-4すなわち (x+1)(x-1), (x+2)(x-2)で割ったときの商をそれぞれQ(x), Qa(x) と P(x)= (x+1)(x-1)Q(x)+4x-3. P(x)=(x+2)(x一2)Q:(x)+3x+5 P(-1)=-7 P(-2)=-1 すると のから これとのから-a+b=-7 これとのから -2a+b=-1 a=-6, b=-13 のから 3, 0を連立して解くと 求める余りは -6.c-13 練習 (1) 整式 P(x) をx+2で割った余りが3, x-3で割った余りが -1のとき, P(x) をパーx-6 で割った余りを求めよ。 (2) 整式 P(x) をx+5x+4 で割ると2x+4余り, x+x-2 で割ると-x+2系 るという。このとき 53 の 【立教大) D と

なぜx^2＋2x-1で割ると答えが求められるのでしょうか？

1 整式の乗法·除 Check 例題 4 割り算と式の値 : 鶏 左達 A=V2-1のとき,x*+4x°+5x°+4x+1 の値を求めょ. 「考え方 そのまま代入すると計算が大変である。 (3)x=V2-1 を利用して, (xの2次式)=0 となる2次式Bを導き,割 A=BQ+R (Rの次数<Bの次数)を利用する。 x=V2-1 より, x+1=V2 両辺を2乗すると, つまり、 解答 x?+2x+1=2 X= x+2x-1-0 0 ン x+4x°+5x*+4x+1 を x°+2x-1 で割ると、 x+2x +2 x?+2x-1)x“+4x°+5x+4x+1 x*+2x°- x x)=- 2 リ+) 『+ 時会公大 | ? 十ースト 0+x)最台公小録 2x°+6x?+4x+1 す8 ムタ大 2x+4x-2x 2x°+6x+1 15xl 21z 3(九 ミ十土 (+x) 2x°+4x-2 2x+3 っしたがって, A((+x)お (1-x+4x+5x°+4x+1=(x°+2x-1)(x?+2x+2)+2x+3 ·2 る席ケ !-X=V2-1 のとき, ①より, x°+2x-1=0 なので, ②より, x*+4x°+5x°+4x+1=0·(x2+2x+2)+2x+3 さ (1ー)x ィー =2x+3 =2(2~1)+3=2/2 +1

最後の行の文だけです。なぜ、有理数だと =0として値を求めることができるのですか？ ふと、疑問に感じました。

エ]であり,さらにこのとき,Aの値が -1 ま 目安 15分 2 割り算と式の値 B=x°-2x-1 とする。 AをBで割ると, 商Qと余りRはそれぞれ Q=x+(m+[ア]) R=(2m+n+イ)x+(3m+n+ ウ) である。 また,x=1+/2 のとき, Bの値は であるならば、m, n は有理数であるから,m=|オ], n=カキ]である。 エ」であり,さらにこのとき,Aの値が一1 出

組み立て除法の計算はできるんですが、その後の、3Xの三乗-7Xの二乗+9X+4= の計算がなぜそうなるのか分かりません。

(2) 整式 3x3-7x°+9x+4を x+で割る組立除 2 3 法は次のようになる。 3 -7 9 4 2 -2 6 3 -10 3 -9 15 -6 よって 3x3-7x?+9x+4=(x+ 2 -(3x?-9x+15)-6 - 3 =(3x+2)(x?-3x+5)-6 したがって 商 x?-3x+5, 余り -6

どうして等号が成り立つのは赤の下線の時なのですか？？

とを利用。 (Va+b?+1Vx?+y°+1)-lax+by+1\? を変形して A20, B20のとき, A'>B! 考え) 与 20を示す。 等号成立は,式変形の中の 2を含む箇所に注目。 → 実数x, y, aについて, x?+y?+z?=0 → であることを利用。 x+ax な複素響 残りの x=y=z=0 ☆ー 両辺の平方の差を考えると (Va?+6°+1Vx?+y°+1)ーlax+by+1? =(a?+6°+1)(x?+y°+1) (ax+by+1)? =(a?+6)+1}{(x+y)+1}-1(ax+by)+1}? =(a+6\x2+y(α°++(x2+y)+1 別解 【別) ー(ax+by)?+2(ax+by)+1} =(α'x?+α'y?+b?x+b?y) (α°x?+2abxy+b?y3 +(α?-2ax+x°) +(62-26y+y?) =(a°y?-2abxy+6°x)+(a-x)?+(6-y)? =(ay-bx)?+(a-x)?+(b-y)?20 (Va?+6°+1Vx?+y°+1)2lax+by+1} Va'+6?+1Vx°+y°+120, |ax+by+1|20 であるから Va'+6°+1Vx?+y°+12lax+by+1| 等号が成り立つのは, ay=bx かつa=xかつb=y, すなわ ちa=xかつb%=Dyのときである。 よって 25 (整式の割り算の余りの決定) 考え方 ー☆☆☆一 割り算の等式 A=BQ+Rと, 剰余の定理を利用 割り算の等式を利用。