数学の無限級数の問題です。 問題の解答の途中で、1/an = 1/3(1/n - 1/n+1)という風に求められていますが、なぜそのまま最後の行の∑の式に入れてはいけないのですか？？ そのまま入れたら違う値が出てくるのは分かりますが、なぜ違う値が出てくるのかと、Tnで置いて... Read More

(2) 数列{an} の初項から第n項までの和が Sn=n+3n²+2n であるとする。 このときを求めよ。 n=1 an [23 立教大〕

(1)を係数比較で解こうとしましたが、A=1になるところ、-1になってしまいました。2枚目の右側のものが解答の解き方でした。 どこで間違えたのでしょうか。

12/ bn = 4 n とおくと, b1=241=1, n-1 +1 =1, bnt1=bn- (1/2)となるので,n2のと bn=b₁+ (bk+1b)=1- k=1 1 (2/2) =1- k=] 11/12/11-(1/1)-1/2+(1/2) =1 よって, an=4"bm=4" 11/1/2+(1/2)^}= n-1 2 1 1- 2 (n=1のときもこれでよい) =2.4"-1+2" 【別解】 (2) n+1+A2n+1=4(an+A2") を満たす A を求める。 an+1=4an+4A2"-A・2n+1=4a,+A2n+1 と条件式を比べて, A=-] an+1-2n+1=4(an-2")より,{an-2"}は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1 (α1-21)=2･4n-1 09 9 演習題 (解答は p.75) 次の式で定められる数列の一般項 an を求めよ. (1) a1=2, an+1=3an+2n2-2n-1 (n≥1) (2) a1=1,n+1-2an=n.2n+1 (n≧1) an=2.4"-1+2" (E (3) a1=1, an+1 1 n-1 = 2 ant n(n+1) (n≧1) ( 64

（2） αは1の6乗根のひとつとありますがどこでそう分かりますか？6乗根のひとつはzじゃないのですか？

C2-48 (396) 第5章 複素数平面 Think 題 C2.22 単位円に内接する正多角形 複素数平面上において, 原点を中心とする半径 1の円に内接する正六角形の頂点を表す複素数を, 左回りに Z1 Z2 Z3 Z4, 25, 26 とする. y 23 24 O また,a=cosisin とする. **** 2ドモアブルの定理 (2)(1)よりは1の6乗根の1つであり. 1, a, a, a, a, a が 2-1=0の解となるから、 z-1=(z-1)(za)(za)(za)(za)(za) (397) p. C2-38 例題 C2.19 注)参照 y4 02 a 3 このとき 次の問いに答えよ. (1) 21+2+2+2+25 +26 の値を求めよ. 2 25 (2)(1-α)(1-α)(1-α) (1-α') (1-α)=6であることを証明せよ。 考え方 Z1,Z2,Z3, 24, 25, 26 は正六角形の頂点であり,この 6点は,単位円周上の6等分点である つまり,点2」を原点のまわりにだけ回転させると、 とおける. ......② a -1 0 一方、 2-1=(z-1)(z+2+2+2+z+1)③ (人監事金) である.ここで, ② ③より. (z-1)(za)(za)(za)(za)(za) =(z-1)(2+2+2+2+2+1) であるから! (za)(za)(za)(za)(za) =2+2+2+2+z+1 となる. これは,z についての恒等式であるから, z=1 を両 辺に代入すると, a a³ 22に移る。 同様に,それぞれの点を原点O のまわりに匹 だけ回転させると, 22→Z3Z3ZZ → Z5, 2s → Z6 にそれぞれ移る+0800 (p.C2-38 例題 C2.19 注》 参照) (1-α) (1-α) (1-α) (1-α) (1-α°)=6 が成り立つ モアブルの Focus |解答 (1) Z1・・・･･, Z6 は単位円周上の6等分点である. 2π また, α=COS- +isin- は、点zを原点のまわり n www 今だけ回転させる複素数であるから, 2π a=cos +isin とすると,単位円周をn 等分する点は, n 1, α, a, α^-' と表される また, C2-49 第5章 22=Qz1 23=αz2=2z1 26=025=021 となるので, 21+2+2+2+2+26 =z₁+azi+az₁+a³z₁+a'z₁+az₁...... z-1=(z-1)(z -α) (z -α^)......(z-a-l) 注)(1-α) (1-α²) (1-α) (1-α) (1-α)=6 より 両辺の絶対値をとると. ( (1-α) (1-α) (1-α²) (1-α) (1-α)|=|1-α||1-^||1-'||1-α '||1-α| =6 と なるこの式の図形的な意味を考えてみよう. 単位円周を6等分する点を A (1) A(a), 30 ①は,初項 z1, 公比αの等比数列の初項から第6項ま での和である. 初項 Z1, 公比 α (天丸) Sale Ba (αキ1) の等比数 A2(2), As(a), A(a), As(α) とすると, 単位円の弦の長さの積 AAAA2A(A3A)AAAs=6 であることを表している. A(a) A(a) As(a³) MAD (1) 0 α≠1 より 1-a となる. ここで, よって, 21+22+2+2+25+26=21 (1-0) a²= (cos +isin 77° =cos2n+isin2π =1 *#J 21+2+2+2+25+26=0 2 (1) 1200+ 2 (6) 列の初項から第 n項までの和は, z₁(1-a") 1-a このことは,練習 C2-22 の(2)のとおり,単位円周を 等分する点についても成り立つ つまり半径1の 円に内接する正n角形の1頂点から、他の各頂点に 引いた線分の長さの積はnになる. A(a) As(a) 練習 02.22 接する正五角形の頂点を表す複素数を、左回りに21.2. *** 23.…………… とする。また a=cos 2+isin 2 とする. n n (1)+22+2s+…+2=0であることを証明せよ。 (2)(1-α) (1-α²) (1-α)・・・・(1-α"-1)=nであることを (例)証明せよ. 複素数平面上において原点を中心とする半径1の円に 22 21 -1 0 1 x 12月 B1 B2 C1 (北海道大改) p.C2-5124 G2

次の問題の青い線の移り変わりが分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

次の数列の和を求めよ。 思考プロセス S = 1.1+3・3+5・32 + 7.3 + +(2n-1)・3n-1 既知の問題に帰着 一般項 (2n-1)3"-1の和 (等差数列)・(等比数列) 等比数列の和の公式の導き方と同様に求める。 (Point参照 ) ×(公比) ( S = 1・1+3・3+5・32+7・3°+ ... + (2n-1)・3-1 -) 35 = - 2S=1・1+( 等比数列の和 )-(2n-1) 3r 1・3 + 3・3° + 5・3° + + (2n-3)・3-1+ (2n-1)・3 Action》 (等差数列) × (等比数列) の和Sは, S-S を計算せよ 解 S = 1.1+3・3+5・3 + ･･･+(2n-1)・3n-1 ①の両辺に3を掛けると 3S = = ① ② より ① 1.3 + 33° + + (2n-3)・3n-1+ (2n-1)・3 ② -2S = 1・1+ 2 3 + 2・3 + +2.3"-1-(2n-1)3" =1+2(3+32 + +3"-1)-(2n-1)・3" 3(3-1-1) =1+2・ (2n-1).3n 3-1 =3"-2-(2n-1) 3 =-2(n-1)・3-2 ② したがって S= (n-1)3" + 1 の符号に 3 +3 +... + 3,公比3, この等比数列の とくに数

マーカーのところって初項ですよね？ 毎回階差数列を解くときにマーカーのところが間違っていることが多々あります。

72 (1) S=1.1+32 +52 + ......+ (2n-1)・2"-1 1･2 +32 + ･･････ +(2n-3)・2"-1 302S= [1], x= と+(2n-1)・2 x= 辺々を引くと よって 8+ S-2S=1+2・2+ 2 2 + ･･････ +2.2"-1 (2n-1)・2" −S=1+2(2+2+ ...... + 2"-1)-(2n-1)・2n 2 (2"-1-1) =1+2. 2-1 B (2n-1). 2n =(3-2n)・2"-3 したがって S=(2n-3)・2"+3 E () 73 =

どうやったらこの式になりますか？？

⑥(2) a1 = 1, 3an+1 = 2an+3.2η-1 2 ⇒an+1 = 3an+2n-1 an+1 2 an 両辺を 2n+1で割ると + 2n+1 32n+1 an 1 = 2n = bn とおくと bn+1 = 3 bn + 4 bn+1 - 3/3 = 1½ (b − 3) 8 bn { bn - 2 } は初項 by - - - 8 3-8 bn bn - = 3 8 = 1 8 1 + 3n 8.3n-1 n-1 と変形できる。 27-1 1 an 1 = + 2n+1 32n 4 a1 3 1 = 公比 21 8 8 1/3の等比数列 an 1+3n (3n+1)2n-3 an = 2n 8.3n-1 3n-1

変形したらなぜこうなるのかわかりません。教えてください🙇‍♀️

数列{an} の初項から第n項までの和 Snが, Sn=2an-n で表される。 (1) +1 を an を用いて表せ。 (2) 数列 {a} の一般項を求めよ。

(1)の問題なのですが、どこが間違っているのか、指摘して欲しいです

an 79 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を, bn=an+1 - an とおくこと により求めよ。 *(1) α=1, an+1=2ann-1) (2) α = 1, an+1=3an+4n

(1)の問題なのですが、どこが間違っているのか、指摘して欲しいです

an 79 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を, bn=an+1 - an とおくこと により求めよ。 *(1) α=1, an+1=2ann-1) (2) α = 1, an+1=3an+4n

解答とは違う解き方で解きましたが、(2)の答えが合いません。×2が足りないそうですが、どこで間違えたのでしょうか。

92項間漸化式/an+1=pan+f(n) - 次の式で定められる数列の一般項 4 を求めよ. (1) a=1, n+1=20n+n (n=1,2,3, ...) (2) a1=4,n+1=40-2"+1 (n=1, 2, 3, ...) (弘前大・理工-後) (信州大工) 型の漸化式を解く 2項間漸化式の解き方 an+1=pan+f(n) (p=0.1:f(n)はnの式) には、変形して+1+g(n+1)=plan+g(n)}となるようなg(n) を見つけて, {an+g(n)}が等比 数列になることを用いればよい (i) f(n)がnの多項式の場合,g(n)もf(n)と次数が等しいnの多項式である。g(n)の係数を 未知数とおいて,☆より係数を求めればよい。 特にf (n) が定数の場合は前頁で扱った. (ii) f(n)=Aq" (g≠p, A は定数) の場合,g(n)=Bg”として, が成り立つように定数Bを定め an+1 an ればよい.また,an+1= pan+Ag" の両辺を"+1で割って, +A p" +1 (2)². ここで, an A bn とおいて, bm+1=bn+ として階差型の解き方 (前頁)に持ち込む手でもよい。 P 解答 (1) an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B) を満たす A, B を求める. an+1=2an+An+B-A と条件式を比べて, A = 1, B-A=0 :.B=1 an+1+(n+1)+1=2(a+n+1)より,{an+n+1}は公比2の等比数列. よって, an+n+1=2"-1 (Q1+1+1)=3·2"-1 .. an=3.2"-1-n-1 左辺はA(n+1) になることに注 意. (2) +1=44-2n+1 を 4n+1で割って an+1 an 1+1 4n+1 an 4" 2 \+1 == 4" bm=211 とおくと, b1=41=1,n+1=bn-(12)となるので2のとき 【 (2) の別アプローチ】 f(n) が Ag” の形の場合は、両辺 を Q"+1 で割ると, 典型的な2項 間漸化式に帰着されることに着 目. 漸化式を 2 +1 で割って, 1 \n-1 -1 bm=b1+2(bk+1-bh)=1- k=1 -1- 12/12(1/2)-1/12+(1/1) n-3 1+1 2 an+1 an ・=2. =1- -1 2"+1 2" 11-113 an 2" Cn= とおくと, C+1=2cm-1. (n=1のときもこれでよい) これから解く. よって,=40=4 =4*{/12+(1/2)"} =2.4"-1+2" 【別解】 (2) an+1+A.2"+1=4(an+A2") を満たす A を求める. an+1=40+4A2"-A2n+1=40+A2"+1 と条件式を比べて, A=1. an+1-2n+1=4(an-2")より, {4-2"}は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1(α1-21)=2.4-1 . 9 演習題(解答は p.75) 次の式で定められる数列の一般項4 を求めよ. an=2.4"-1+2" (1) 41=2,4+1=3an+2n2-2n-1 (n≧1) (2) α=1,n+1-20万=n.2n+1 (n≧1) (岐阜大) (日本獣医畜産大) (1), (3) an+1+f(n+1) =k(a+f(n)) となる (日)を探す