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重要 例題 133 確率と漸化式 (2)… 隣接3項間
座標平面上で,点Pを次の規則に従って移動させる。
αだけ移動させ, a≧3 ならばy軸の正の方向へ1だけ移動させる。
原点を出発点としてさいころを繰り返し投げ, 点Pを順次移動させるとき、
数nに対し, 点Pが点 (n, 0) に至る確率をpn で表し, p=1 とする。
(1) Pn+1 * Pn, pn-1 TXU.
(2)
を求めよ。
指針▷ (1) Pnt1:点Pが点(n+1,0)に至る確率。
点Pが点(n+10) に到達する直前の状態
巨回まで
[1]点(n, 0) にいて1の目が出る。
CHAR[2] 点(n-10) にいて2の目が出る。
(2) (1) で導いた漸化式から を求める。
[1], [2] に分けて考える。
を、次の排反事象
解答
(1) 点Pが点(n+1, 0) に到達するには
(31,0
[1] 点 (n, 0) にいて1の目が出る。
[2] 点(n-1, 0) にいて2の目が出る。
(2) © ²5 pa+i+ =√ √ Pa = = = = (Þ₂ + ½ 7 Þa−1),
① から
3
よって
Pn+17
Da
Pn+1-
- 1/² Pa = - = — (P₁ = 1/2 Dn-1)
2
pn
Pn-
Pn+1+Pn²
(②③)÷//から
n
Da (P₁-P) (-1)^
141
1 / / Pn = ( D ₁ + ²/3 Po) ·( ²12 ) ² ₂ +), „JJA
n-1
pn-1
る確率はそれぞれ
の2通りの場合があり,[1],[2] の事象は互いに排反である。 ▼点(n,0),(-1,0)にい
*₂7__= P₂+1 = = = = P₂ + 1/{ Pa-1
(Pn, Pn-1
n+1
\n+1
- 1/2 P₁ = ( − 1 1/²-) ² ² ²
Pn+₁ Pn
Pn
[2]
00000
n
福井医大
基本123,132
( 80 [S]
) 50388
n+1i
◄x²=-
Pati
y軸方向には移動しない。
p=1,
=11/13 から poist/1/2²/1/1)... ②.
Pn+1+Pn=
D=(1/2)
③
6
n+1
= {(²) "*-(- - -)**)__ SEBO [1]
1 \n+1)
3
x=1/64x+1/1/18から
6x²-x-1=0
X
Pati
1
よってx=- "
3
(α, B)=(-1/1/1₁/12),
(1/23, -1/23) とする。