なぜ　底3は1より大きいから　 を書かなければいけないのですか？ 自明みたいな感じではないのですか？

ゆ2に くかく3 二ネは大70もたす. + 3<3<3 E3は1より大きいがら -2<x<1 サ

微分 f(x)の3次の係数がマイナスの場合でもこのグラフと同じ正負で考えて大丈夫でしょうか？？

ここでは、もう少し詳しく考えてみよう. の符号はともに正より, y=f(x) は x30 で確かに極値をもたない。 2x=a の前後でf'(x) の符号が変化する」が成り立つことであった。 F(x)=3x* より, f'(x)=0 の解は重解 x=0 であるが, x=0 の前後でf(x) 関数 y=f(x) が x=a で極値をもつための条件は, 「① f(a)=0 かつ 例題206 では, 3次関数が極値をもつ場合ともたない場合について考えた。 実際、2が成り立たず極値をもたない簡単な例として f(x)=x° がある。 この状況を y=f(x)=x°, y=f(x)=3x* のグラフで表すと, 次のようになる。 こんの phaumn f(x)とず(x)の関係」 工業大) a 0 「x<0 でf(x)>0→f(x) は単調増加 |=0 でf'(x)=0→接線の傾き0 |x>0 でf(x)>0→f(x) は単調増加 このグラフを簡略化して表したものが「増減表」であ る。この2つのグラフからもわかるように, 一般に, 3 次関数 ソ=f(x)==ax°+bx?+cx+d (a>0) と, その導関数 y= f'(x)=3ax°+2bx+c の関係は次のよ うになっている。 これは 4 ソ=f(x)=x° 重解をも らたない である 0 4ソ=f(x)=3x° ある 変化 (i) 単調 単調単調 増加 減少 増加y=f(x) 単調増加 () 単調増加 ソ={(x) →y=f(x) =0 ※6g PR P ーる。 接線の 傾きは0 M 30 B x 10 =a x ソ=f(x) がすべての実数に おいて単調増加 →y=f(x) がx軸と共 有点をもたない (つねに y=f(x)>0) →2次方程式 F(x)=0 が実数解をもたない よって, 判別式D<0 10=X y=f(x) がx=α, B で 極値をもつ →y=f(x) が x=α, Bでx軸と2 点で交わる →2次方程式 f'(x)=0 が異なる2つの実数 解をもつ よって,判別式 D>0 注》(i)~面において, 政物線 y=f(x) の軸 (i)では x="ナB (i), (面は x=a]を填に。 ソ=f(x) がxキαのすべて の実数において単調増加で, x=α で接線の傾きが0と なる → y=f'(x)がx=α でx軸と接する →2次方程式 f'(x)=0 が重解(α)をもつ よって, 判別式 D=0 2 グラフの「変曲点」と呼び, すべての3次関数のグラフはこの変曲点に関して点対称にな ニている。これは放物線の軸に関する対称性からも予想がつくであろう.

この問題の⑴と⑶の添削をおねがいしたいです 解説は、返信欄に貼らせていただきます よろしくお願いします

を示せ。 26.(1) 関数 f(x) が エ=aで微分可能であることの定義を述べよ. よ =a で微分可能であるとき,その微分係数 f'(a) の定義を述べよ。 (2) aは0でない実数とする. f(z)=1 とするとき, f(x) は エ=a で微力 可能か.もし微分可能でないならその理由を(1)の解答に従って説明し,も し微分可能ならば f(x) の z=a での微分係数 f'(a) を (1)で述べた定義 に従って求めよ. 川 0-(土)1 mil JS (3) 関数 f(z)は連続な単調増加関数とし, zN0 のとき f(x)N0 とする. y=f(x) のグラフ, エ軸, y軸, 直線 z=t (t>0) で囲まれた部分の面積 を S(t)とする.このとき, S'(a)=f(a) (a>0) であることを証明せよ. (広島大) (大 水の来)

数学、標準問題精講109です。 画像二枚目にある （ⅱ）と（ⅲ）の p=0のとき、D＞0ならば、f(x)=0は一つの実数解と二つの虚数解をもつとありますが、それはなぜですか？ （ⅰ）のときは（極大値）×（極小値）＞0であるから、一つの実数解と二つの虚数解を持つことがわかる... Read More

109 方程式への応用(2) 3次方程式 +3pz+q=0 (p, qは実数)において, D=4が+q° とす るとき,この方程式の解について,次のことを示せ。 [D<0 ならば,異なる3つの実数解をもつ。 D=0 ならば,解のすべては実数解であり,重解をもつ。 ID>0 ならば, 1つの実数解と異なる2つの虚数解をもつ。 ©Di 3次方程式 +3px+q=0 の解は 3次関数 y=r°+3px+qのグラフ をかき, z軸との共有点の状態を調べればよく, 解法のプロセス 精講 3次方程式の解の状態 極値をもつときは 3次関数のグラフをかき, エ 軸との共有点を調べる 極値の符号 を調べることにより,x軸との共有点の状態がわ かります。したがって, 本間はまず 極値をもつかどうか で場合分けをします。 y'=3(z°+か) ですから, か20 のときは極値をもたないのですが,本間の Dに対して,か>0 のときは, D=4が+>0 と 定符号ですが,p=0 のときは D=q">0 となり, Dの符号が正であったり, 0だったりしますので, p=0 は別扱いとします。 かく0 のときは極値をもち,このときは, さら に(極大値)×(極小値)の符号で場合分けするこ とになります。 f(z)を計算 極値をもつかどうか, 極値の符号はどうか で場合分けする 解答 f(z)=°+3pr+qとおく. f(z)=3.z*+3p (i)か<0 のとき, f'(x)=0 は エ=±ノ-p を解に もつ。 YA 図1 ーカ V-P 0 0 ーV-p 0 f(x)|

困っています。 教えてください。 数学 標準問題精講104番の問題です。 なぜa=0の時を別にして、考えるのでしょうか？0＜a≦½—に含めて考えるのは間違った考え方なのでしょうか？ ご教授ください。

104 文字係数を含む関 関数 f(z)=|z°_3a'z| の 0Szハ1 における最大値 M(a) を求めよ,た だし,a20 とする. さらに, M(a)を最小にするaの値を求めよ、(福井大) 関数 y=lg(z) のグラフは, リ=g(z)のグラフをかいて, z軸 o 解法のプロセス 折り返しを利用して =lg(z)| のグラフ をかく →精講 の下側の部分を上側に 折り返す ことにより得られます. 絶対値をはずすための場 合分けは問題を煩雑にするだけです。 本間の場合は, g(x)=rー3α'x だから g'(z)=3r°-3a°=3(z+a)(z-a) リ=g(x) リ=lg(z)| が最大となるのは 極大または右端 定義域の右端 エ=1 の位置 と区間 aSxS2a を比較しな リ=f(x) がら最大値を求める P R -2a -2a 12a a 2a x a OF -a 0 a x 折り 返す -2 図の点Qのェ座標は, y=z°-3aI とy=2α° を連立させて求めます。 このとき,Pのr座標 ーaが重解となることを考えれば,連立した式は 直ちに整理されるでしょう. 次に y=f(x) のグラフをみると, M(a)を求 *3次関数の対称性から PR:RQ=1:2 より,Qのェ座標は2aとわ かる めるためには (標問 103 の 研究を参照) 定義域の右端 x=1 の位置が区間 aSx<2a の範囲にあるか否かで場合分け が必要なことに気づきます。 0n 解答 g(x)=-3a°r とおく. g'(x)=3z°-3a°=3(エ+a)(xーa) 0のとき、 エ20 における g(2)の増減表は右 のようになる。 ー3a°エ=2a° を解くと 73-30°x-2 30 0 a |g(z) |9(z) 0 0 8

x>0のとき logx<=x-1を示せ という問題で以下の回答はどうでしょうか？ 気がかりなのが積分時に等号を成立させていいのか、x>1としてるのにx>0のとき示せてるのかって点です

t2|asz t: →x(>{) すると。 * dt sp? dt 'x I lqx s e-1 1

赤線のnはなんのnか教えてほしいです🙏

分子は,初項1,公差1の等差数列である。すなわち,もとの数列の項数と分 550 基本 例題112 群数列の応用 10 11 の分数の数列につ。 9 8 4 4 5 6 7 1 2 3 4'5 4 1'2'2 3'3'3'4' (類東北学院大) 初項から第210項までの和を求めよ。 キ。 指針> 分母が変わるところで「区切り を入れて,群数列 として考える。 分母:1|2,2| 3, 3, 3| 4, 4, 4, 4|5, 1個 2個 第n群には,分母がnの分数がn個あることがわかる。 分子:1|2,3|4, 5, 6|7, 8, 9, 10 | 11, 3個 4個 しい。 まず,第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。 解答 分母が等しいものを群として, 次のように区切って考える。 6|7 2|3'3' 3|4'4' 4'4|51 (もとの数列の第々環に 子がkである。また、。 群は分母がんで、と 1|2 3|4 5 8 9 10|11 1 2 第1群から第n群までの項数は を含む。 1+2+3+………+n= n(n+1) これから,第n群の熱 第210項が第n群に含まれるとすると 数の分子は 1 -n(nt1 -(n-1)n<210名号7(n+1) よって (n-1)n<420<n(n+1) の (n-1)nは単調に増加し, 19·20=380, 20·21=420であるから, ①を満たす自然数nは また, 第210項は分母が 20 である分数のうちで最後の数であ る。ここで, 第n群に含まれるすべての数の和は n=20 * 20-21=210 n+1 -n= は第n群の数の好 の和→等差数列の和 2 ゆえに,求める和は Q k+1 うn(2a+(n-1)d k+ 20·21·41 +20 k=1 \k=D1 k=1 6 =1445

画像の5-3について、答えに記載のa^2=9aという式がわかりません。 おそらく漸化式から導かれたものかと考えていますが、漸化式からどのような式変形を行うことで上式が得られるのでしょうか？

5. a, = 2, an+1 = 3Vam (n>1) によって数列{am} を定める. (1) 0< an<9を示せ。 A(3) lim an を求めよ。 (2) {an}は単調増加であることを示せ。 n→0

上の緑下線がどういうことなのか、 下の緑下線はなぜ1≦√aになるのか教えてください

高さ,およびそのときの体積を求めよ。 題 44 aは定数とする。次の関数の最大値を求めよ。 f(x)=-x°+3ax (0<x<1) 極大値をとるときのxの値が, 0<xハ1 にある場合とそうでない場合に分け f'(x)=-3x°+3a=-3(x°-a) as0 ならば f'(x)<0 であるから, f(x)は単調に減少する。 よって, 0Sx<1 において f(x)は x=0 で最大となる。 a>0 ならば f(x)=-3(x+Va )(x-Va) x=±/a f"(x)=0 とすると [1] 0<a<1 すなわち 0<a<1 のとき 0Sx<1 における f(x)の増減表は,次のように なる。 最大 0 Va x f(x) 10 Va f(x) 極大|| よって,f(x) は x=Va で最大となる。 [2] 1S/a すなわち 1<a のとき 0Sx<1 で f'(x)N0 であるから, f(x) は単調に 増加する。 よって,f(x) は x=1 で最大となる。 以上から aS0 のとき 0<a<1 のとき x=/a で最大値 2a/a 1Sa のとき [2] f(x)↑ 最二 10 x=0 で最大値 0 x=1 で最大値 3a-1

"①が常に成り立つための必要十分条件はD≦0" なぜですか？

127 xの関数 y=x°+(カ+1)x°+がx+1 が常に単調に増加するように, 定数pの 値の範囲を定めよ。 83