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うような点Lをと
CFを下ろすと
★☆
(1) AP+PM
△ALBの面積
見方を変える
257 折れ線の長さの最小値
AB=AC = 4, ∠A=90° の △ABCにおいて、 辺
ABの中点をMとする。 点Pが辺BC上を働くと
次の和の最小値を求めよ。
きっ
(2) AP²+PM²
B
[M
★★☆☆
【折れ線
とMがPCの長さ同じ側)
BC に関して
●A
M
Aの対称点A'
をとる
(A' とMがBCに関して反対側
折れ線APMの長さ
M
A
C
P
B
C
折れ線 APM が最小となるのはどのようなときか?
255
E
L
D
A
F
B
線上にない点Pから
(1) BC に関して A と対称な点を A',
AMとBCの交点を Po とすると
Action» 折れ線の長さの最小値は, 対称点を利用せよ
(2)定理の利用
△AMP に対して, AP2+ PM2 は 2辺の2乗の和
A
2辺の2乗の和が現れる定理はなかったか?
AP+PM
C=A'P+PM
B
P
M
△A'MP ができるとき
A'P+PM > A'M
二下ろした垂線との交
を、この垂線の足とい
AP + PM = A'P+PM
2-
45°
≧A'Po+ PM
B45° Pa
P
= A'M
MAS
よって, AP + PM は, PとPoが
一致するとき最小となり,最小値
はA'Mの長さに等しい。
A'
A'M = √A'B°+BM=2√5
MM
1 LF
+ LB
(2) AMの中点をNとすると,
中線定理により
したがって, AP+PMの最小値は
2√5
M
OHTA
・FB = CF• FH
ラ
=AF・FB
章
18
三角形の性質
AP²+PM² = 2(AN² + PN²)
= 201+PN2 )
AP' + PM2が最小となるのは,
B P P C
PNが最小, すなわち, NPBC のときである。
3
このとき
PN =
√2
よって, AP2 + PM の最小値は 11
△A'BM は,
∠A′BM = 90° BM=2,
A'B4 の直角三角形で
ある。
■中線定理 (例題 144 参
照)を用いると, 変化す
る値がPN だけになる。
B'
(3-
45°
M
PN:BN=1:√2 より
3
PN=
BN=
√2
/2
MC
257
A
469
p.478 問題257
S2 の相乗平均
で学ぶ)である。
るとき, GBC
■ 257∠B = 45°, AB=6,BC=10の△ABCにおいて, 辺AB上に AM 4 とな
るように点をとる。 点Pが辺BC上を動くとき、次の和の最小値を求めよ。
(1)AP+PM
(2) AP²+PM²
