207.3 このような記述でも問題ないですか？？

基本例題 207 3次関数が極値をもつ条件, もたない条件 ①①①① (1) 関数f(x)=x3+ax² が極値をもつとき,定数aの満たすべき条件を求めよ。 (2) 関数f(x)=x-6x2+6ax が極大値と極小値をもつような定数aの値の範囲 を求めよ。 (3) 関数f(x)=x+ax2+x+1が極値をもたないための必要十分条件を求めよ。 2012 ただし,αは定数とする。 ≪佐野衣 基本 201206 重要 210 地に。 指針 3次関数f(x) が 極値をもつ ⇔f'(x) の符号が変わる点がある =f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ ⇔f'(x)=0の判別式 D> 0 D 7/2 = ( (3) f'(x)=3x2+2ax+1 =(-2)^-1・2a=4-2a から, 4-2a>0より (1) f'(x)=3x2+2ax ENOD f(x) が極値をもつための条件は, f(x) = 0 が異なる2つの実 3次関数が極値をもつとき, 数解をもつことである。 3x²+2ax=0 の判別式をDとする 極大値と極小値を1つずつ もつ｡ -=a²-3.0=a² x(3x+2a)=0 から D 4 と D>0 ここで ゆえに,d²>0 から a≠0 (2) f'(x)=3x²-12x+6a=3(x²-4x+2a) f(x) が極大値と極小値をもつための条件は,f'(x)=0 が異 なる2つの実数解をもつことである。 よって, x2-4x+2a=0の判別式をDとすると ここで 3x2+2ax+1=0 実数解をもたない。 「よって, ① の判別式をDとすると 4 * Jen f(x) が極値をもたないための必要十分条件は,f'(x) の符号 が変わらないことである。 ゆえに, f'(x) = 0 すなわち D=α²-3.1=(a+√3)(a-√3) Džk (a+√3)(a-√3) ≤0 D≤0...... x=α 極大y=f(x)/ a <2 ① は実数解を1つだけもつかまたは D>0 の係数)>0のとき y=f'(x) / JAV ! a 極小 よって -√≦a≦√ (3) x=0, よって a≠0 としてもよい。 D=0 2 y=f(x) / !!! OD<O 3 + NOSTA y=f'(x)) (*) D<0 は誤り。 126ax が極大値と極小値をもつとき,定数αが 3. 9 6: 3 関数の増減と極大・極小

このようにならないのはなぜですか

-3-9 to x= 2 10. [20-4- カラフは本当であり、 (4x+3)(4x+3)(4x+3) A 3 -2,-² 49 DICA (0) 求めよ。 AVE

写真の問題について。D＝0は、「x軸」と接する条件じゃないんですか？ 今回の問題ではなぜ「y＝2x＋6」と接する条件として使えているのでしょうか？

EX ③79 き, a,b,cの値を求めよ。 2次関数y=ax2+bx+cのグラフが2点(-1,0),(3,8) を通り,直線y=2x+6に接すると [ 日本歯大 ] y=ax²+bx+c は, 2次関数であるから a=0 この関数のグラフが2点(-1, 0), (3, 8) を通るから 0=a・(-1)^+6・(-1)+c, 8=α・32+b・3+c a-b+c=0 ①,9a+36+c=8 すなわち ② ① から よって b=-2a+2 3 ③を①に代入すると a-(-2a+2)+c=0 ゆえに c=-3a+2 ④ (4) ③ ④ をy=ax²+bx+c に代入すると y=ax²+(-2a+2)x-3a+2 ...... 8a+46=8 ...... ...... (S+ ←a,b,c の3文字のま までは処理が煩雑になる。 そこで, 通る2点の座標 を代入して, b,c をaで 表すことから始める。

199. 時短で求められるのは解答の解き方だと思うのですが、 この解き方でも問題ないですか？？

312 基本例題 1992 曲線に接する直線 2つの放物線y=-x,y=x²-2x+5の共通接線の方程式を求めよ。 基本 196 指針 1つの直線が2つの曲線に同時に接するとき, この直線を2つの曲線の共通接線 ① 一方の曲線 y=f(x) 上の点A(a, f(a)) における接線の方 程式を求める。 い 2② 1 で求めた接線が他方の曲線 y=g(x) と接する条件から, gyor αの値を求める。(()(2A) 接する重解の利用。 他にも検討で示したような解法も考えられる。 解答 y=-x2 に対して y'=-2x よって, 放物線y=-x2 上の点 (a, -α²) における接線の方程式は y-(-a²)=-2a(x-a) ......... 接する Ay 接する y=x2-2x+5 [O y=-x2 x (a, ,-a²) (30 すなわちy=-2ax+a² この直線が放物線y=x²-2x+5にも 接するための条件は、 2次方程式 x2-2x+5=-2ax+α² すなわち x²+2(a-1)x-a²+5=0 ゆえに,②の判別式をDとすると D=(a-1)^-1・(-α²+5)=2a²-2a-4=2(a+1)(a−2) 係数を比較して la²=-62+5 よって, 求める共通接線の方程式は M ②が重解をもつことである。 D=0 よって (a+1)(a-2)=0 ゆえに a=-1, 2 この値を①に代入して、求める共通接線の方程式は y=2x+1,y=-4x+4 検討 2つの曲線のそれぞれの接線を一致させて解く 上の例題の別解 (恒等式の考えを利用する。) y=-x2上の点(a, -d²) における接線の方程式は y=x2-2x+5 上の点 (6, 62-26+5) における接線の方程式は y=-2ax+α² 2直線①②が一致するとき, その直線は共通接線となる。 -2a=2(6-1) 25 重要 200 演習 224 IEROS J y-(b2-26+5)=(26-2)(x-b) すなわち y=2(6-1)x-62+5 M これを解いて y=2x+1,y=-4x+4 y=g(x)\ A 接線が求めやすい方の曲線を 指針の手順①のy=f(x) と するとよい。 y-f(a)=f'(a)(x-a) 接する y=x²-2x+5と y=-2ax+α² を連立。 接する重解 ~共通接線 y=f(x) (a,b)=(-1,2),(2,-1)

黄色マーカーのところで、なんでここを掛けているのかがわかりません。教えてください！

④チャレンジ [金沢大] αを実数の定数とする。 xの2次方程式x2+(a-1)x+a+2=0 .... ①について 次の 値の範囲を求めよ。 ただし, 重解は1つと数える。 (1) ① 0≦x≦2の範囲に実数解をただ1つもつときの値の範囲 含める (2) -2≦a≦-1 のとき, ① の実数解xのとりうる値の範囲 (1) ① の判別式をDとし, f(x)=x2+(a-1)x+a+2 とすると D=(a-1)2-4(a+2)=(a+1)a-7), F(x) = (x + ª−¹)²_ (a+1)(a−7) 4 ①0≦x≦2の範囲に実数解をただ1つもつための条件は,次の [1]~[3] のいずれか が成り立つことである。 [1] 0≦x≦2の範囲に重解をもつ このとき D=005-¹2 D = 0 すなわち (+1)a-7)=0から a=-1,7 a-1 0≤-92¹≤245 -3≤a≤1 a-1 [2] 0<x<2の範囲に重解ではないただ1つの実数解をもつ このとき f(0) ƒ(2) <0 よって (a+2x3a+4) <0³5 -2<a<-- [3] 0≦x≦2の範囲にx=0 またはx=2のいずれか一方のみを解にもつ (i) x=0を解にもつとき a=-2 このとき 他の解は x=3 (これは適する。)←x2+(-2-1)x+(-2)+2=0 (ii) x=2を解にもつとき 4 a=- 3 よって, a=-1 が適する。 このとき、 他の解は =1/3 (これは不適。) x= 4 よって -25a<-. [1]~[3] より 求めるαの値の範囲は (2) ①から (x+1)a+x2-x+2= 0 g(a)=(x+1)a+x2-x+2 とおくと, -2≦a≦-1のとき, ① を満たす実数xが存在 するための条件は g(-2)g(-1)≦0 すなわち x(x-3xx-1) ²0 別解 ①から a(x+1)=-x2+x-2 よって、 2次方程式①の解は,y=a(x+1) とy=-x2+x-2のグラフの共有点のx 座標である。 a= a=-1 x²-3x = 0 0≤x≤3 x(x-3)=0 (1) 2次方程式 ① の判別式をDとおくと よって, D=0 のとき a=-1, 7 ゆえに、 2次方程式 ①の重解は a=-1のときx=1, a=7のとき x=-3 4 x=2を解にもつとき, 34+4=0から D=(a-1)2-4(a+2)=(a-7Xa+1) x=30

黄色マーカーのところで、なぜx＝3だと適するになって、x＝ 1/3は、不適になるのか教えてください！

④チャレンジ [金沢大] を実数の定数とする。 xの2次方程式x2+(a-1)x+a+2=0 値の範囲を求めよ。 ただし, 重解は1つと数える。 (1) ①が0≦x≦2の範囲に実数解をただ1つの値の範 (2) -2≦a≦-1 のとき, ① の実数解xのとりうる値の範囲 (1) ① の判別式をDとし, f(x)=x2+(a-1)x+a+2 とすると D=(a-1)2-4(a+2)=(a+1)a-7), F(x) = (x + 4 =¹) ²_ (a + 1)(a−7) ①0≦x≦2の範囲に実数解をただ1つもつための条件は,次の [1]~[3] のいずれか が成り立つことである。 [1] 0≦x≦2の範囲に重解をもつ このとき D=0 かつ 02-a-ls2 D = 0 すなわち (+1)a-7)=0から a=-1,7 05-0215245 -3≤a≤1 -≤2 [2] 0<x<2の範囲に重解ではないただ1つの実数解をもつ このとき ƒ(0) ƒ(2) <0 よって [1]~[3] より 求めるαの値の範囲は よって, a=-1 が適する。 (a+2)3a+4) < 0 から -2<a<- [3] 0≦x≦2の範囲にx=0 またはx=2のいずれか一方のみを解にもつ (i) x=0を解にもつとき a=-2 このとき 他の解は x=3 (これは適する。)x+(-2-1)x+(-2)+2=0 4 (ii) x=2を解にもつとき a=- このとき、 他の解は x=1/13 (これは不適。) ...... ・①について,次の -2≤a< '3' a=-1 x²-3x = 0 x(x-3)=0 x=30

赤いマーカーの部分はどうやって求められたのでしょうか？？ 教えていただきたいです よろしくお願いします🙇🙇 2枚目が問題です。

8 (1) 12 が解であるから (-)-3-(-2)²-(-2)-1=0 よってp= 15 4 15 このとき,方程式はx3x2x-1=0 4 すなわち (x + 12 ) ²(x − 4 ) = 0 ゆえに,-12を重解にもち、他の解はx=4 別解 他の解をα とすると, 3次方程式の解と係 数の関係から、 GLO

三角関数の問題です。（3）を教えていただきたいです。

とする。 2次方程式x2-2(sin0+cose) x-√3 cos20 0 につ 1226 いて、次の問いに答えよ。 (1) この方程式の判別式D を sin 20, cos20 を用いて表せ。 (2) この方程式が実数解をもつとき、 定数0の値の範囲を求めよ。 (3) この方程式の解がすべて正の実数であるとき,定数0の値の範囲を求めよ。 [23] [島]

⑴の問題なのですが、判別式でDを4で割っているのはなぜですか？

288 ! 00000 基本例題 183 極値をもつ条件もたない条件 (1) 関数 f(x)=x+ax2+(3a-6)x+5 が極値をもつような定数aの値の 範囲を求めよ。 類 名古屋大 ] [類 千葉工大] 基本 182 (2) 関数 f(x)=2x3+kx2+kx+1 が極値をもたないような定数kの値の範 囲を求めよ。 CHART & SOLUTION (1) 3次関数f(x) が 極値をもつ⇔f'(a) = 0 を満たす x=α が存在し x=α の前後でf(x) の符号が変わる f'(x)=0 が異なる2つの実数解をもつ =f'(x)=0 の判別式 D>0 ① (2) 3次関数f(x) が極値をもたないf(x)が常に増加 [または減少] ⇔f'(x) の符号が変化しない ⇔f'(x)=0が重解をもつか実数解をもたない ⇔f'(x)=0 の判別式 D≦0 ! 解答 (1) f'(x)=3x2+2ax+3a-6 f(x) が極値をもつための必要十分条件は、 f'(x) の符号が 変化することである。 よって,f'(x)= 0 すなわち 3x²+2ax+3a-6=0...... ① が異なる2つの実数解をもつ。 ① の判別式をDとすると 2017 D =α²-3(3a-6)=α²-9a +18 4 D> 0 から これを解いて (a-3)(a-6)>0 a<3, 6<a Sat (1) [D>O (2) y=f'(x) / y=f(x) /

242.2 厳密には RC:AC=1:√3、∠ACR=90°より∠ORA=π/3... ということですよね？？ また、記述はこれでも問題をないですか？（写真2枚目）

370 00000 基本例題 242 放物線と円が囲む面積 放物線L:y=xと点尺(0.2/24) を中心とする円Cが異なる2点で接するとき (1) 2つの接点の座標を求めよ。 CASATREON (2) 2つの接点を両端とする円Cの短い方の弧とLとで囲まれる図形の面積S [類 西南学院大]基本 237 を求めよ。 指針▷ (1) 円と放物線が接する条件をp.156 重要例題102 では 接点重解で考えたが, ここでは微分法を利用して,次のように考えてみよう。 LとCが 点Pで接する点Pで接線l を共有するRPl (2)円が関係してくる図形の面積を求める問題では,扇形の面積を利用することを考え するとるとよい。 半径が,中心角が0(ラジアン)の扇形の面積は 12/20 b÷d 解答 (1)y=x2 から y'=2x LとCの接点Pのx座標をt (t=0) とし, この点での共通 の接線をl とすると, lの傾きは 2t √3 2 5 1²- 点と点P(t, t2) を通る直線の傾きは 4t2-5_ RP⊥l から 2t - -=-1 ゆえに t= 4t PROTECC = 4 4t²-5 4t t-0 よって t=± (2) 右図のように, 接点A,Bと点Cを定めると, RC:AC=1:√3 から ∠ORA=- =, RA=2.( Lと直線AB で囲まれた部分の面積をSとすると S=S+ △RBA- (扇形 RBA) ーπー ・12. /3 --√²/(x+√3)(x-√3) dx + √3-5 ゆえに、接点の座標は (2) (-4) y Ly=x) / 3 4 2 =1 π =-(-1) { ¹3³-(-√3)² + √¹3³__3√3_7B_S 4 3 O y B R fp 0 0 A