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第11章 空間のベクトル
例題 C1.60 空間における交点の座標(2)
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2点A(5, 0, 9), B(1, 4, 3) と xy 平面上を動く点Pに対して, AP+PB
の最小値と,そのときの点Pの座標を求めよ.
同じ側
ABS
・平面
考え方
2点A, B が xy 平面に関して反対側
にある場合, AP + PB が最小となる
のは, 3点AP Bが一直線上にあ
る場合である。 同じ側にある場合は,
xy 平面に関してBと対称な点B' をと
ればよい
反対側
AS
P
xy 平面
・B
B'
直線の方程式をベクトル方程式で考えて, 媒介変数表示する。
Abs
2点A, B を通る直線のベクトル方程式は OP=OA+tAB である=10
解答
2点A, B は xy 平面に関して同じ側にある.
xy 平面に関して点Bと対称な点をNHAT
もに正なので,
B'(1, 4, -3) とおくと, PB=PB' より,
AP + PBが最小となるのは, 3点A,P,
B' が一直線上にあるときである.
AB' = (-4,4,-12) より,
OP=OA + tAB'
=(5,0,9)+t(-4,4,12)x
=(5-4t, 4t, 9-12t)
A,Bの座標がと
xy
平面に関して同じ側
にあるとわかる.
直線 AB'′ と xy 平面
15
P
B'
y
の交点が求める点P
である.
9
したがって、点Pの座標は,
(5-4t, 4t, 9-12t)
・①
013+8
点Pはxy平面上の点より 座標は0だから,
9-12t=0
t=-
3
このとき,P(230)
2-)-A2AO HO (S)
50-RO-1
よって,P(2,30) のとき,AP+PBは最小となり
AP+PB=AB、
=√√(-4)'+4°+(-12)
=4/11
(3
tを①に代入する.
Focus
直線のベクトル方程式 OP = OA+tAB
=OA+t(OB-OA)
=(1-t)OA+tOB
10-010
