例題 235 不定積分〔2〕...∫(ax+b)" dx
次の不定積分を求めよ。
(1) ∫(2x+1)dx
思考のプロセス
(2)f(x+1)(x+2)dx
(2x+1)(x+1)(x+2) を展開してもよいが, 項が多くなり大変。
|公式の利用 次の公式を用いると, 計算量が少なくなる。
Sax+b)"dx=
(1次式)*
1 1
an+1
(ax+b)"+1+C
x+1に注目して, (x+1)* をつくる。
(x+1)(x+2) = (x+1)^{(x+1)+1}=(x+1)+(x+1)2
Action》(ax +b)" の積分は,
1
a
n+1
-(ax +b)"+1 + C とせよ
(2x+1)dx= 1/12 1/2(2x+1)'+C= 1/2(2x+1)^+C
1 (1) ∫(2x
〔別解)
(2x+1)dx =
(8x3+12x +6x+1)dx
∫(8x +
= 2x4+4x°+3x + x + C
(2) f (x+1)(x+2)dx = f (x+1)^{(x+1)+1}dx
〔別解)
f(x+1)
=∫{(x+1)+(x+1)*}dx
1/2(x+1)+1/2
(x+1)^+ 1/2(x+1)+C
(x+1)²(x+2)dx = √(x²+2x+1)(x+2)dx
= f (x+4x²+5x+2)dx
◆ Point 参照
√(ax+b)" dx
1
1
-(ax + by +1 + C
a
n+1
例題234のように展開し
てから考えてもよい。
(x+1)(x+2)
= (x+1)^{(x+1)+1}
=
= (x+1)+(x + 1)
と変形して, 公式を利用
する。
1
4
5
= x4+
+
x2+2x+C
4
3
2
Point (ax +b)"の不定積分
nが自然数のとき, {(ax +b)"+1} = a(n+1)(ax+b)" が成り立つから
f(ax+b)"dx =
1
1
(ax +b)"+1+C
(a = 0)
a n+1
この公式は (
内がxの1次式の場合にのみ利用できる。 (
内が2次以上
の式の場合は展開してから積分する。
