-
![]()
-
![]()
基本(例題 108 関数のグラ
関数 y=4cosx+cos2x(-2x≦x≦2x) のグラフの概形をかけ。
基本 107 重要 109, 110
方
指針 関数のグラフをかく問題では,前ページの基本例題107同様 定義域, 増減と極値,
凹凸と変曲点, 座標軸との共有点, 漸近線などを調べる必要があるが,特に, 対称
性に注目すると、増減や凹凸を調べる範囲を絞ることもできる。
f(x)= f(x) が成り立つ (偶関数)⇔グラフは軸対称
f(x)=f(x) が成り立つ (奇関数)グラフは原点対称
( 数学II )
指
解答
この問題の関数は偶関数であり, y = 0, y'=0の解の数がやや多くなるから、
0≦x≦2の範囲で増減 凹凸を調べて表にまとめ,0≦x≦2πにおけるグラフをy軸
に関して対称に折り返したものを利用する。
y=f(x) とすると,f(x)=f(x) であるから, グラフはy cos(-
軸に関して対称である11
y'=-4sinx-2sin2x=-4sinx-2・2sinxCOS X
==4sinx(cosx+1)
y=-4cosx-4cos2x=-4{cosx+ (2cosx-1)}
=−4(cosx+1)(2cosx−1)
0<x<2πにおいて, y = 0 となるxの値は, sinx = 0 また
はcosx+1=0 から x=π
y" = 0 となるxの値は, cosx+1=0 または 2cosx-1=0
から
π
5
x=
π,
π
3
3
よって, 0≦x≦2 におけるyの増減, 凹凸は,次の表のよ
うになる。(*)
0-xxmil
=COS
2倍角の公式。
y=-4sinx-2sin2x
を微分。
(*)の式で,
COS x+1≧0 に注意。
sinx, 2cosx-1の符号
に注目。
解
π
0
...
π
3
:
-
y"
y
5
2
032
+
↑
0
+
+
0 +
-3
53 +
032
π
...
2π
15
+
13
-3-2
-
π
-27
0
5
ゆえに、グラフの対称性により、求めるグラフは右図。
5
3
125-3
3
2 X
参考
上の例題の関数について, y=f(x) とすると
よって, f(x) は 2 を周期とする周期関数である。
f(x+2)=f(x)は、(1)
-数学Ⅱ参照。
←
この周期性に注目し,増減や凹凸を調べる区間を0≦x≦2に絞っていく考え方でもよい。
練習 次の関数のグラフの概形をかけ。 ただし, (2) ではグラフの凹凸は調べなくてよい。
108
(1) v=ex²-1
