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(解答
(i) n=3のとき
1
1 36+9 +4
49
=
(左辺)= +
12
+
22
32
36
36
(i)n=1のとき
51
ではなく,
(右辺)=
=
=
4 3
36
36
(i) n =3のとき
これより, n=3において(*) は成り立つ.
となる
11 1
+ +
・+・・・+
(i)n=k(3) のときに(*) が成り立つと仮定すると,
12 22 32
k² 4 k
数学B 数列
132 数学的帰納法 (不等式)
3以上のすべての自然数nに対して不等式
111
1 7 1
12 22 32
+...+
n2
4
n
が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明せよ、
63-12
7 1
本間はn=3, 4, 5, ・・・ に対して
(*) が成り立つことを示すので、
解説講義
数学B 数列
131 では、数学的帰納法で等式を証明したが、 不等式でも手順は同じである.すなわち,
(i) n=1において証明したい式が成り立つことを示す
(ii)n=kにおいて証明したい式が成り立つと仮定したときに, n = k + 1 でも証明し
たい式が成り立つことを示す
の2つを示せばよい。 ただし, 本間は3以上のについて証明するから、(i)のところは
1ではなくn=3の場合を示すことになる。
で成り立つと仮定した式を用いて式を変形していけば、自ずと n=k+1の場合の式が出て
しかし, 131 の等式の場合に比べると (ⅱ)の段階の証明が難しい。 等式の証明では、n=k
くることがほとんどである. 一方, 不等式の証明ではそうはいかない。 仮定した ①式を用
いても得られる式は②であって, n=k+1 の場合の式である④は得られない。 ①を導く
ためには②と③を組み合わせることになるが,不等式ではこのような “2段階” で示すこ
とが多い。つまり、証明したい式は、
12 22
1
1
+...+
7
k²
1
であるが,仮定を使って得られた式は、
(k+1)²
4 k+1
....④
17 1
1
1
1
...①
+
+... +
1
7
12 22
1
k²
<
1
(k+1)2 4
k
1
である.そこで,もし,
(k+1)
①の両辺に
を足すと,
7
1
(k+1)2
1
+
7
1
4
k
1
1
1
1
1
7
(k+1)2
+
+・・・+
+
・・・②
12
22
k²
(k+1)2
4
k
(k+1)2
ここで,
を示したいと考えて
が示せたとすれば、②と③ から ④は示せたことになる。 そこで、 ②が得られた後に, ③
4
k+1
...3
7
1
1
+
k+1
4
k
(k+1)2
1
1
1
+
k+1
k
(k+1)2
-k(k+1)+(k+1)2-k
この計算をしてみようと
発想するところが最大の
ポイントであり,この計
算を行う理由は解説講義
に書かれている. 少し難
しい部分であるが, しっ
かり理解しておきたいポ
イントである
(
7
7
1
1
+
k+1/
4
k
(k+1)^
を計算し、これが正であることを示そうとしているのである。 不等式の証明では、何を示し
たいのかをしっかりと考えて方針を立てないといけない。
また、数学的帰納法では,
+52-1
は21で割り切れることを示せ」
「すべての自然数nに対して, an=4"+14
というような, 倍数を題材にした問題も頻出である. 131 132 (*)の式のように等式や
不等式が明確に提示されているわけではないが、
(i) α が 21で割り切れることを示す
(ii) ak が 21 で割り切れると仮定して、 αk+1 も21で割り切れることを示す
というように答案を作ればよく, 解答の “骨組み” は変わらない. 数学の勉強は 「解答を暗
記する」のではなく、 「考え方を理解して練習すること」が大切である. 残りの単元も少な
くなってきたが、引き続き, 丁寧な学習を心がけてほしい.
数学の必勝ポイント
数学的帰納法を用いた不等式の証明
“仮定を利用して得られた式” と “示したい式(n=k+1の場合の式) "
を,どのように結びつけるかを考える
k(k+1)2
1
->0
k(k+1)²
であるから,
7
1
1
7
1
+
<
...③
4
k
(k+1)2
4
k+1
が成り立つ. ② ③より,
1 1
1
1
7
1
+...+
+
7
1
<
+
22
k²
(k+1)2 4
k
(k+1)2 4
k+1
となるから,
文系
1 1
1
1
7
+
+...+ +
1
22
k²
...④
(k+1)2
4 k+1
が成り立つ, これより, n = k +1 でも (*) は成り立つ
(i), (ii)より, 3以上のすべての自然数nに対して, (*)は成り立つ。
