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Mathematics Senior High

別解2についてです。 なぜ法5と3が互いに素でなければ3で割ることができないのでしょうか? 御回答よろしくお願い致します。

562 基本 例題 137 1次不定方程式の応用問題 3で割ると2余り5で割ると3余り 7で割ると4余るような自然数nで最小 基本 135 136 のものを求めよ。 5で割ると3余る数のうち, 7でも3でも割り切れる数 は、7・35・4+1 の両辺を3倍して 3・7・3=3・5・4+3 指針 条件を満たす自然数を小さい順に書き上げると [1] 3で割ると2余る自然数は 7で割ると4余る数のうち, 3でも5でも割り切れる数 は, 3・57・2+1の両辺を4倍して 1.3で割ると2余る数のうち,5でも7でも割り切 5-7-3-11+2 れる数は 下線の数を見つけるため に、ここでは1余る数を もとにしているが、直ち 63 としてもよい。 そ の次の4・3・560も同様。 [2] 5で割ると3余る自然数は 3. 8. 13, 18, 23, ······ [3] 7で割ると4余る自然数は 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53. [1] [2] に共通な数はであるから,「3で割ると2余り5で割ると3余る」 自然数 最小数は8で3と5の最小公倍数 15ず つ大きくなる。 は [4] 8, 23, 38, 53, 68, 求める最小の自然数nは, [3] と [4] に共通な数 (口の数) 53であることがわかる。 このように、書き上げによって考える方法もあるが、条件を満たす数が簡単に見つか らない (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。 そこで、問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみ よう。 4・3・5=4・7・2+4 したがって, 5・7+3・7・3+4・3・5=35+63+60=158は, 3で割ると2余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る 数である。 3, 5, 7の最小公倍数は105であるから, 求める自然数 nは n=158-105=53 別解2.3で割ると2余り, 5で割ると3余り 7で割ると 合同式を用いた解法。 4余る自然数をnとすると n=2 (mod3) ...... ①. n=3 (mod5) ... ②, n=4 (mod7) 563 ③ ①から n=3s+2 (s は整数) ・・・... ④ ④を② に代入して 3s+2=3 すなわち 3s=1 解答 nはx, y, zを整数として,次のように表される。 n=3x+2,n=5y+3, n=7z+4 注意 3x+2=5y+3から 3x-5y=1... ① x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1)=0 3x+2=5y+3 かつ 5y+3=7z+4と して解いてもよいが. 係 数が小さい方が処理しや すい。 1=6であるから 3s=6 法5と3は互いに素であるから s=2 (以上 mod 5) ゆえに, s=5t+2 (tは整数) と表され, ④に代入すると n=3(5t+2)+2=15t+8 ⑤ 3(x-2)=5(y-1) すなわち 3と5は互いに素であるから, kを整数として, x-2=5k と表される。 よって x=5k+2 ····.. ② ② を3x+2=7z+4に代入して このとき y=3k+1 ⑤を③に代入して 15t+84 すなわち 15t-4 14t=0であるから t=-4 (以上mod 7) ゆえに,t=7k-4(kは整数) と表され, ⑤ に代入すると n=15(7k-4)+8=105k-52 求める最小の自然数nは,k=1を代入して n=105・1-52=53 法5と3は互いに素であ るから, 両辺を3で割る ことができる。 15cm45 として、法と 15は互いに素であるか ら、両辺を15で割って 3とすることもでき る。 3(5k+2)+2=7z+4 <3x7z=2から ゆえに 7z-15k=4 ...... ③ 7・(-2)-15・(-1)=1 3(x-3)-7(z-1)=0 ゆえに、を整数として x=71+3 両辺に4を掛けて 検討 7・(-8)-15・(-4)=4 ...... ④ ③④から 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(k+4) 7と15は互いに素であるから, lを整数として, z+8=151 と表される。 これとx=5k+2 を等置 して 5k+2=7/+3 よって 5k-77-1 これより1が求めら れるが, 方程式を解く手 間が1つ増える。 よって z=157-8 これをn=7z+4 に代入して n=7(151-8)+4=1051-52 求める最小の自然数nは,l=1を代入して n=53 <1054-52>0 とすると 52 1> 105 百五減算 ある人の年齢を3, 5, 7でそれぞれ割ったときの余りを a,b,c とし、n=70a+216+15e とする。 このnの値から105を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数が その人の年齢である。 これは3, 5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれる。 なお、この計算のようすは合同式を用いると、次のように示される。 求める数をxとすると, xa (mod 3), x=b (mod5) c (mod 7) であり, n=70a=1.4=qx (mod3) nm15cm1c=c=x (mod 7) =2101.60x(mod5), よって、nxは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7の最小公倍数 105で割り切れ る。ゆえに、を整数として, n-x=105kから n105 このkが105を引く回数である。 練習 3で割ると2余り, 5で割ると1余り、 11 で割ると5余る自然数のうちで、 ● ユークリッドの互法と1次不定方程式

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Mathematics Senior High

(1)についてです。 見つけた解が解説とは異なるx=-2とy=9で、解がx=6k-2、y=-7k+9となったのですが、これも正解ですか? 御回答よろしくお願い致します。

基本例 136 1次不定方程式の整数解 (2) ... ax+by=c 00000 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 7x+6y=40 指針 (2)37x-90y=4 基本 135 140 ① ax+by=cの整数解 1組の解(p, g) を見つけて a(x-p)+b(3-4)=0 が第一の方針。 しかし (1) は比較的見つけやすいが、(2)は簡単に見つからない。 そこ で,(2)では,次の方針による解答を考えてみよう。 ① a ともの最大公約数を 互除法によって求め、その計算過程を逆にたどる。 ・・・・・ 特に, 1=ap+bg の形が導かれたら 両辺をc倍して a(cp)+b(cg) =c 2 (絶対値が) 大きい方の係数を小さい方の係数で割ることによって, 係数を小 さくし (本書では係数下げと呼ぶ)。 1組の解を見つけやすくする。 なお,検討として, 3 合同式を利用する 解法も取り上げた。 解がすぐに見つからなければ CHART 不定方程式の整数解 互除法 または 係数下げ (1) x=4,y=2は7x+6y=40の整数解の1つである。 解答 ゆえに、 方程式は すなわち 7(x-4)+6(y-2)=0 <7x+6y=40 から 7x=2(20-3y) 7(x-4)=-6(y-2) 7と6は互いに素であるから, kを整数として x-4=6k, -(y-2)=7k と表される。 よって, 解は x=6k+4,y=-7k+2(kは整数) よって, xは2の倍数で ある。 このようにして、 方程式を満たす整数解を 見つける目安を付けると よい。

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World history Senior High

イタリアとドイツの統一において共通して見られる動きは何か、説明している本文に下線を引こう。 これはどこに書かれているか教えてほしいです🙇‍♀️ p39

イタリア 事 統一運動 ざせつ されたのだろうか。 おく 1848年の運動が挫折した後、 近代化が遅れていた地域で p.37 も国民国家形成の動きが活性化した。 イタリアでは、ウィー ン体制期、マッツィーニが「青年イタリア」による統一運動を展開したが、 p.36 1805~72 QR その後サルデーニャ王国が主導権を握った。皆相カヴールは外交努力を進 1810 かくとく p.38 め、ナポレオン3世の援助を背景にオーストリアからロンバルディアを ア 獲得し、さらに中部イタリアも併した。「青年イタリア」出身のガリバル けんじょう ディはシチリアと南イタリアを征服し、サルデーニャに献上したことで、 1861年、 サルデーニャ王を国王とするイタリア王国が成立した。 1861~1946 ビスマルクと ドイツでは、統一の主導権をめぐりプロイセンとオー ドイツの統一 ストリアが争っていたが、プロイセン首相のビスマルク 強 は議会の反対を無視して軍備を拡張し、 普墺 (プロイセン-オーストリア) 1815-98 QR ふ おう 1866 戦争でオーストリアを破った。 プロイセンの強大化をおそれたナポレオン 史料 ていこく 5 ふふつ 3世は普仏戦争を始めたが敗北し、 1871年、ドイツ帝国が成立した。 ビ p.38 だんあつ 1871~1918 いりょう スマルクは、社会主義運動や労働運動を弾圧する一方、医療保険・労災保 p.44 険などを定めて労働者の不満をなだめ、 急速な経済成長も実現し、帝国を p.48 列強の一員とした。 また、 オーストリアがオーストリアハンガリー (二重) 1867~1918 帝国を成立させると、 オーストリア・イタリアと三国同盟を結ぶなど、諸 p.38 たく 1882~1915 QR はか 国の対立を巧みに調整しながらドイツの安全を図った。 このドイツ統一の にな 中心的役割を担ったプロイセンの法制、軍事、 科学などは、近代的な国家 いしん 建設を目指していた明治維新期の日本のモデルとなった。 p.63

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