二変形
域の右!
定義域の方
る。
-5
内にお
最小と
の技
基本例題 64 最大・最小の文章題 (1)
00000
BC=18, CA=6である直角三角形 ABC の斜辺 AB 上に点Dをとり,Dか
ら辺BC と CA にそれぞれ垂線 DEとDFを引く。 △ADF と△DBEの面
積の合計が最小となるときの線分 DE の長さとそのときの面積を求めよ。
基本 58
CHART O SOLUTION
文章題の解法
最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ
DE=x とおくと,相似な図形の性質から△ADF, △DBEはxの式で表される。
またのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。
解答
DE=x とし, △ADF と△DBE の面
積の合計をSとする。
0<DE=FC <AC であるから
0<x< 6
......
△ADF=
同様に, △ABC
よって
ゆえに,面積は
(6-x)².54-3-(6-x)²
=
AF=6-x
△ABC △ADF であり, △ABC: △ADF=62: (6-x) 2
△ABC=1/2･18･654 であるから
△DBE=
B
S=△ADF+ △DBE
3 -{(6−x)²+x²}
2
62
△DBE であり,△ABC:△DBE=62: x2
x²
3
62.54= 2x²
AS
54%
D
27
x
0
F(00) .(0.8)
(辺の長さ) > 0
C
=3(x2-6x+18)
3
6 x
=3(x-3)2 +27
よって, ① の範囲のxについて,Sはx=3で最小値 27 をと
る。ゆえに, DEの長さが3のとき, 面積の最小値は 27 である。
◆xのとりうる値の範囲。
相似比が min
面積比は²: n²
■三角形の面積は
1
2
107
TORE
×(底辺)×(高さ)
別解 長方形 DECF の面積
をTとすると, Tが最大に
なるときSは最小となる。
DF=3(6-x) から
T=x・3(6-x)
=-3(x-3)2 +27
0<x< 6 から, x=3でT
は最大値 27 をとる。
よって, DE の長さが3の
とき, Sは最小値
1/1･6･18-27=27
をとる。
3章
2次関数の最大・最小と決定
