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漸化式から
数学 B 例題 33
基本 例題
17 数列の極限 (1)
...
・基本, 分数式など
(1)次の数列の極限を調べよ。
(ア) √2,5,8,11,
(イ) -1,
1
4
(2)第n項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
(ア) 1-
1
2n³
(1) 3n-n³
-
11
9'16'
2n2-3n
(ウ)
n²+1
p.34 基本事項 1, 2, 4 p.42 補足事項
(1) まず, 数列の一般項をnで表す。
1
指針
k0 のとき n→∞ ならば n→∞,
0 であることに注目。
n'
数学 B 例題 34
(2) (ア) 数列の極限の性質 (p.34 基本事項2) を利用する。
月。
(イ)(ウ)極限をそのまま求めると,0の形(不定形)になってしまう。
タイプに
そこで,次のように
極限が求められる形に式を変形することが必要。
(イ)nの多項式
nの最高次の項
でくくり出す。
B 例題 41,42
(ウ)の分数式
分母の最高次の項
n2で分母・分子を割る。
βを利用。
(1) (ア)一般項は√3n-1で
(1) (イ)an
(1) (ア) 数列 2, 5, 8,
an=
解答
lim√3n-1=∞ つまり,∞に発散。
n
形する。
n→∞
1
3
(イ)一般項は
(−1)" で
4
5
4
n
2
n'
1
1
2
9
題 37,46,47
利用。
1
an-a
lim
(-1)"
n²
2
n→∞
-= 0 つまり, 0 に収束。
(2) (7) lim(1-2)-1--0-1
(イ) lim(3n-n3)=limn
n→∞
2n2-3n
nn2+1
n→∞
=lim
2
3
3
n
1
=2
-1---
8-:
0 に収束
振動ではない)
は初項 2 公差
3の等差数列で,
般項は
2+(n-1)・3
=3n-1
=(-n+lim1--
1+1
n-o
-lim-
2 no n
でくくり出す。
→∞ × (0-1) の形。
<n2で分母・分子を割
n→∞
1+ 2
n
(ウ) lim
に。
題 44,45
してα,
~利用。
不定形の極限の扱い方
検討
つの数
まくい
2-0
る。
→
の形。
1+0
極限が形式的に∞+8,8×8 となる場合は∞になるが, (2) (イ)からわかるように,
であるからといって0とは限らない。 不定形の極限は, 不定形でない形に式変形
してから極限を判断する必要がある。 なお, ∞ どうしの,あるいは ∞と他の数の和差・
積・商(8+8,8-∞ ∞ × 0 など)は定義されていないので, 答案にはこのような式を書
いてはいけない。
練習
② 17
(1) 数列
3 4
1 1 1 1 1
の極限を調べよ。
4'
3'
(2)第n項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
(ア) √4n-2
n
(イ)
1-n
2
(ウ)+(-) 3
3n2+n+1
3n
