143 平面と直線の交点
四面体 ABCD の辺ABを2:3に内分する点をP, 辺AC を 1:2に内
分する点を Q,辺AD を 2:1に内分する点をRとする.また,三角形
PQR の重心を G とし, 直線 DG と平面 ABC の交点をEとする.
(1) AG を AB, AC, AD を用いて表せ。
(2) AEA, AC を用いて表せ。 また, DGGE を求めよ.
解答
CH
(1)条件より,AP= / AB, AQ=1/3 AC, AR=2/ADである。
Gは三角形 PQR の重心であるから,
(西南学院大)
HO
AG = (AP + AQ + AR) = ( AB+ AC+AD)=2AB+ AC+ 2 AD
(2)Eは直線DG上の点であるから,DE=kDG (kは実数) とおける.これより,
AE=kAG+ (1-k) AD
=
==
(AB+/AC+AD)+(1-k)AT
15
1/23kAB+1/kAC+(1-71k) AD
15
一方, E は平面 ABC 上にあるから,
A
PE
R
... B
AE = sAB + tAC (s, tは実数)…②
① ② において, AB, AC, ADは1次独立であるから
2 k=sかつ1k=tかつ1-12/3
= 0
15
これを解くと,k=2となるから,①より,
AE= =AB+AC
E
さらに,k=1より,DE=DG となるから, DG:GE=7:2
説講義
一面と直線の交点は、 求めたい点に関して,
(I) 直線上の点であること (解答の①)
(Ⅱ) 平面上の点であること (解答の②
目して2つの式を立てて、その2つの式で係数比較をすることが定番の解法である.
