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ep Up
65 漸化式の応用
Step Up 例題 201
数列の和 S と漸化式
数列{az}において, 初項から第n項までの和を S とすると, S+2a=3
が成り立っている。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) n≧2 のとき, an と α- との関係を求めよ。
(2) annの式で表せ。
数学B
ゆえに a=2"
· (n+1)=2*-³ (n+1)
よって
n=2"-1(n+1)
エクセル 41=patr (p≠1) 両辺を n+1 で割る
512 月+in+1
n+2の両辺を
(n+2) 倍すると
(n+2)an+1= (n+1)an
. S. を結ぶ関係式は
a. S.-S- (n≥2)
ここで, bm=(n+1)a とおくと
解 (1) S=3-24 だから,n≧2 のとき
(2)
an-S-S-1-(3-2an)-(3-2an-1)
よって 3a-24-1 = 0
in=1/24n-s より
数列{az} は,公比 1/3 の等比数列である。よってan=ail
ここで S+2a1=3
また S=α より α1=1
よってan = (1/2)^1
513
数列{a} の初項から第n項までの和をSとする。
Sn=2-3a を満たすとき, 数列 {a} の一般項を求めよ。
Step Up 例題 202 2項間の漸化式 (1)
{a} の一般項を求めよ。
α1=1, nan+1=2(n+1)an+n(n+1) (n=1, 2, 3, ... で定義される数列
an+1=2+1
n+1
n
解 漸化式の両辺を n(n+1) で割って
an = b とおくと b1=2+1
n
この漸化式は, bn+1+1=2(6+1) と変形できる。
6+1=1+1=2 だから
数列 {bm+1} は, 初項2, 公比2の等比数列である。
bn+1=2.2"-1=2" より bm=2"-1
よって an=n.bn=n(2-1)
514
次の漸化式で定められる数列{an} の一般項を求めよ。
(1) 1=1,
an+1
an+2 (n=1,2,3, ••••••)
n+1
n
an
An-1
(2) α1=2,
=
n
n-1 n(n-1)
(n=2,3,4,......)
148 数学 B 編
b1=b また bi=24=1/3
したがって,数列{bm}は初項 / 公比1の等比数
列である。
61=6より (bm) の頃はすべ
て等しくなります。
b₁-
もよいです。
-
2
よって
a=
3(n+1)
513 S=2-34 だから, n≧2 のとき
818
2.2.2 ass (n=2.3.4...)
an-S-S-1-(2-3an)-(2-3an-1)
よって 4a3a1= 0
3
これより4=1/4-1 だから, 数列{an} は公比
-an-
3
と
4
12の等比数列である。
3\
ゆえに an=a
ここで Si=2-3a」 また Sia より a1= 1/2
An+1=2an (n=1.2.3....)
は同じことを表しています。
3
an=
エクセル と S のある式
→ an=S-S-1, an+1=Sn+1-S で α または 1 の式にする
514(1) = とおくと bm+1=6+2 より
n
数列{bm}は初項 b= = 1, 公差2の等差数列
322 | 数学B編
