Zを整数全体の集合とするとき、次のことを証明せよ。
A={4n+1|n∈Z}, B={2n+1|n∈Z} のとき ACB かつ AB
C={2x+3y|xEZ, y∈Z} のとき C=Z
指針 例えば,(1) について,各集合の要素を列挙してみると
A= {......, -7, -3, 1, 5, 9, ......},
B= {......, 7, -5, -3,1,1,3,5,7,9, ......}
-5
-7
-3
問題の関係は成り立つようにみえるが, A, B は無数に多くの要素
をもつ集合であるから,これでは証明にならない。
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しかし、 既知の事項との連絡を図るため,これまでに学んだ集合
の性質やベン図の利用を考えても、証明の糸口は見えてこない。
このようなときは, 根底となる事柄 定義に戻って考えるとよい。
「xEA ならばxEB」 を示す
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ACB の証明
A=B の証明
「AGB かつ BCA」 を示す
なつけるのっとるでまわれているので他のを置く
解答 (1) XEA とすると, x=4n+1 (n は整数) と書ける。
このとき
x=2(2n)+1
2n は整数であるから 2(2n)+1EB
すなわち, xEA ならば x∈Bであるから
また, 3EBであるが, 3年A であるから
ACB
A ≠ B
(2) a∈C とすると, a=2x+3y (x, y は整数) と書ける。
Aのどんな要素も
2x (整数) +1
の形に表されること
いっはならないと
4n+1=3 を満たす
nは存在しない。
y
2x+3y は整数であるから
aЄZ
すなわち, αEC ならば α EZ であるから
逆にとする。
CCZ
a=2(-a)+3a で, - a, αはともに整数であるから
2(-a)+3aEC
すなわち、
ならばECであるから
C=Z
CCZ かつ ZCCであるから
ZCC
どんな整数も
2x (整数)+3
の形に表されるこ
す。
