ページ3:

將下列有理數化為小數:
(1) //
解:
1
1 × 125
125
= 0.125
8
8×125
1000
(2)号:
解:
將下列有理數化為小數:
= 0.285714
(1)=
=
解:
(2) s =
解:
27
=
27×4 108
=
25 25×4 100
78
18
= 0.38
= 1.08
1

ページ4:

將下列循環小數化為有理數(約分至最簡分數):
(1) 0.14 =
解:
兩式相減得:
解得:
設 z=0.14 ⇒ 100z = 14.14
100z-z=14.14 -0.14 ⇒>> 99z = 14
因此:
14
x =
99
14
0.14 =
99
(2) 2.356=
解:
設 y = 2.356
⇒>> 10y=23.56, 1000y=2356.56
兩式相減得:
解得:
1000y-10y=2356.56-23.56
2333
y =
990
因此:
2333
2.356
990
1
⇒ 990y=2333

ページ5:

題目:將下列循環小數化為有理數(約分至最簡分數)
(1) 0.26 (2) 0.327
解題(筆記整理)
(1) 0.26
設 x = 0.26 ⇒ 100z = 26.26
兩式相減:
100x - x = 26.26-0.26⇒ 99z = 26
因此
(2) 0.327
26
26
x =
⇒
0.26 =
99
99
設 y = 0.327
非循環長度t=1,循環長度r=2。先乘10去掉非循環部,再乘1000對齊循環:
10y = 3.27,
1000 = 327.27
兩式相減:
1000
•10y=327.27-3.27⇒990y = 324
所以
324 18
y
990 55
結論:
18
0.327
55
1

ページ6:

18
|題目:已知a= 0.275+
°
試求展開後小數點後,2000位數字。
55
解題(筆記整理)
(1) 把 0.275 化為分數
設 x = 0.275,非循環長度t=1,循環長度r=2。
d1c1c2 - d₁
公式:0.dicicz =
10t+r - 10t
275-2
273
代入:0.275
°
103-101 990
(2)通分並相加
a = 0.275 +
18 273 18
55 990
+
273 18 × 18
+
273+324
597
199
55 990 55 × 18
990
990 330
(3) 寫成循環小數
199
0.603。
330
(說明:小數點後第1位是6,其後以長度為2的循環節「0,3」重複。)
(4)找第 2000 位
小數點後:
0.3
0.3
第1位 第2、3位 第4、5位
循環從 第2位開始,循環長=2。
計算在循環中的位置: (2000- 1) = 1999。
1999 除以 2 餘數為1,對應循環節的第1個數字(即0)。
「第2000 位數字為 0
1

ページ7:

5
題目:利用尺規作圖,在數線上標出
所對應的點。
作圖步驟(筆記整理)
(1) 畫數線:過原點畫一直線作為數線,並以右方為正向。
(2)取三等分單位:在正向上用圓規依次取三點A, B, C 使
OA = AB = BC(⇒ OC = 3 個單位).
(3) 取整數點:在數線上找出座標為 5 的點 P(使 OP = 5) 連接 PC。
(4) 作平行線:過點A作一直線AQ使AQ || PC,令其與數線交於點Q。
理由與證明
由平行線性質,∠OAQ = LOPC、∠OQA
∠QOA=∠COP。
=
=
∠OPC(對頂/內錯角相等),且
故
相似比給出
AOAQ
~ AOCP.
OQ OA 1
OP OC 3
因為OP=5,可得
1
1
OQ
=
.OP
= 5 =
3
3
5-3
5
5
因此, Q的座標為
在數線上所對應的點即為Q。
3
3
1

ページ8:

A
B
數線
00
1Q (53)
3
4
P65) 6
1

ページ9:

題目:利用尺規作圖,標出 √15 在數線上所對應的點。
解題提示(直角三角形母子相似):若△ABC中∠BAC=90°, 且 AD⊥BC,
2
則 AD' = BD.DC。
作圖步驟(筆記整理)
(1) 在數線上取一直線段 AC;
AB = 3、BC = 5,故 AC = 8。點B位於AC'
上,且 A 在左、C 在右。
(2) 取 AC 的中點為D,則AD=4。
(3) 以 D 為圓心、半徑AD=4作半圓(直徑為AC)
。
(4) 過 B 作 BE AC 並與半圓交於E。可得BE= V15。
(5) 在數線上取OP=BE,則P的座標為 √15
理由與證明
°
(1) 連結 AE、CE。由泰勒斯定理(直徑所對圓周角)知∠AEC=90°。
(2) 在△AEB 與ACEB中:
∠AEB = <CEB = 90°, ∠EAB = ∠BCE (內錯角) ⇒ △AEB ~ △CEB (AA 相似).
(3) 由相似比可得
EB CB
⇒ EB =
AB.BC= 3 × 5 = 15,
AB EB
故 EB = V15。在數線上令 OP EB,則 P(V15)。
。
E
∠AEC = 90°
直徑 AC = 8,半徑 AD \4
數線
OA 1 2 (5)5 6 7
8
3
1

ページ10:

題目:
50元
(1) 設 a =
b =
37'
(2) 設 a =
591463
86
,求a,b,c之大小關係。
73
√√√17+ √√√3, b = √√15+ √√5, c = = V13 + V7,求a,b,c之大小關係。
解(筆記整理)
(1) 將每個分數寫成「1+ 正分數」:
50
37
13
59
13
a = =1+
b =
=1+
37'
46
46
因為
13
13 13
故
37 46 73'
a>b>c
!
86 73
=1+
1373
(2) 利用(+√y)?=x+y+2/ty(且三者皆為正數,平方不改變大小關係)
a² = (√√17 + √√3)² = 17+3+2√√51 = 20 +2√√51,
b² = (v15 + v5)² = 15 + 5 + 2V75 = 20 + 2√V75,
? = (v13 + V7)² = 13+7+2V91=20+2V91.
因為 V91 > V75 > V51,得
c² > b² > a²
c>b>a
1

ページ11:

題目:
35
47
71
(1) 設 a =
b =
C =
,求a,b,c的大小關係。
47'
59
83
(2) 設 = √√6 √√5, b = V- V6, c = V8 - V7,求 a,b,c 的大小關係。
解(筆記整理)
(1) 把每個分數寫成「1-正分數」:
12 59
35
a = =1
47
12
47
b =
=1
47'
59
因為
12
12 12
從同為 1− 的形式比較可得
47 59 83'
a<b<c
71
C
=1
83
I
12
83
(2)三者皆為正數且很小,先用有理化比較其倒數(倒數為正,大小關係將反向):
m
1
vmt và
(√√m - √√n) (√m + √√n)
√m+√√n (m>n).
1 = √7+ √6, 1 = √√8+ √7.
b
故
1
=
√√√6+ √√5,
a
顯然
1 1 1
V8 + V7 > V7 + +v6 > V6+V
√5 →
> ->
C b a
三數皆正,取倒數後不等號反向,故
c<b<a
1

ページ12:

數學問題與解答
題目
下列選項,哪些是正確的?
(A)若a、b均為有理數,則a+b亦為有理數。
(B)若a、b均為無理數,則a+b亦為無理數。
(C) 若a為有理數,為無理數,則ab 為無理數。
(D)若a、b均為無數,則ab亦為無理數。
(E) 設 a、b 均為有理數,且a、b≠0,則a+bV2 必為無理數。
解答
(A) 正確:設 a=,b=(m,n,p, q均為整數且n, q ≠0),則
m P mg + np
a+b= + =
n q
nq
這是一個有理數,因此a+6為有理數。
(B) 錯誤:例如,設a=5+3,b=4-V3,則
a + b = (5 + v3) + (4 - v3) = 9
a+b為有理數。
(C) 錯誤:例如,設a=0,b=V2,則
ab 為有理數。
ab = 0xvV2 = 0
(D)錯誤:例如,設a=V2+1,b=V2-1,則
= (√√2 + 1)(√√2 − 1) = 1
ab =
ab 為有理數。
1

ページ13:

(E)正確:若a+bV2 為有理數,則設a+b2=c,其中c為有理數,則
bV2=c-a
由此可得
c-a
√2=
b
但
是無數的事實矛盾。因此,a+bV2
會是一個有理數,這與2
必為無理數。
結論
所以正確的選項是(A)和(E)。
2

ページ14:

題目:下列選項中,哪些是正確的?(多選)
(A) 若a,b均為非負有理數,cy為無理數,則-+ 必為無理數。
a
(B) 若 a,b 均為非負有理數、cy為無理數,且a+x=b+y,則a=b且 æ = y。
已知 a + b,b + cc+a均為有理數,則a,b,c三者均為有理數。
(D) 設²與²均為有理數,且a≠0,則a為有理數。
(E) 設 ad 與 aÒ 均為有理數,且a≠0,則為有理數。
解(筆記整理)
答案:(C)(D)
(A)錯
反例:取a=b=2(皆為有理) ' x = √√3, y=
y=-V3(皆為無理),則
X y
√3
+
+
=0∈Q.
a b
2
2
故「必為無理數」不成立。
(B)錯
反例:令 a = 3, b = 2, c = V5, y = 1 + V5。則
a + x = 3 + √√5 = 2 + (1 + √√5) = b + y,
但a≠b且x≠y。命題不成立。
(C) 對
已知a + b,b + c, c + a ∈Q。則
(a + b) + (a + c) − (b+c)
a =
€ Q,
2
同理 6=
故 a,b,c皆為有理數。
(a + b) + (b + c) −(a+c)
Є Q'
C =
(a + c) + (b + c) − (a + b)
€ Q°
2
2
(D) 對
已知a², a ∈Q且a≠0,則
故命題成立。
(E)錯
由 ad, af ∈ Q 僅能推得
a² = a² ∈Q,
未必可得 a∈Q。反例:取a=V2,則
ad = 4∈Q, a° = 8∈Q,
但 a = V2 ∉Q。故命題不成立。
1

ページ15:

題目:設 x,y為有理數,若(2+5)x + (1 - √5)y = 8 - 2V5,求 æ, y。
解(筆記整理) 先展開並把有理部分與 √5 部分分組:
(2+ √5)c+(1-V5)y =
(2x + y) + (x − y)√√5.
因為 x,y∈Q,而 1 與V5 對有理數線性獨立,故係數必對應相等:
2.x + y = 8,
lc-y=
-y= -2.
解此聯立方程:
x = 2,
y = 4.
x = 2, y = 4
1

ページ16:

題目:實數(R)的定義、成員、運算性質、大小關係與分點公式——筆記整理
、定義
實數:有理數與無理數合起來稱為實數。能在數線上找到代表點的數皆為實數;
數線上每一點也代表一個實數。記作 R。
二、實數的成員
●正整數(自然數):1,2,3.....
負整數:-1,-2,-3,...
零:0
有理數:整數與分數(含有限小數、循環小數) 如 ),-,0.125,0.3。
●無理數:不循環的無限小數 如 V2, m, e, 污等。
三、實數的運算性質(對任意實數a.b.c)
(1)交換律
加法:a+b=b+a。 乘法:axb=bxa。
加法:a+(b+c)=(a+b)+co 乘法:ax (b × c) = (axb)×co
(2)結合律
(3) 分配律
ax (b+c)=axb+axco
(4)消去律
若a+c=b+c,則a=b。
若c≠0且axc=bxc,則a=b。
(5) 單位元素
加法單位:a+0=0+a=a。 乘法單位:a×1=1×a=a。
四、實數的大小關係(對任意實數a.b.c)
(1) 三一律(完全序):對任何兩實數 a,b,恰有一式成立:a<b、a=b、a>b。
(2) 遞移律:若 a<b且b<c,則a<c。
(3) 不等式的加法性質:若a<b,則a+c<b+c。
(4)不等式的乘法性質
若a<b且c>0,則ac <bc;若a<b且c<0,則 ac > bc(乘負數不等號方
向改變)
°
(5) 平方嚴增性(正數域上):若a>b>0,則 a² > b²。
1

ページ17:

五、分點公式(數線上一維版)
設 A(a)、B(b) 為數線上兩相異點,若點P介於A,B 之間且滿足
AP:PB=m: n (m,n> 0),
則P的座標為
na+mb
P =
m + n
2

ページ18:

題目:設實數 a,b滿足0<a<1且0 <b<1,則下列選項哪些必定為真?(多選)
(A) 0<a+b<2
(B) 0<ab< 1
(C) -1<b-a<0
a
(D) 0< <1
b
|a-b| < 1
解(筆記整理)
答案:(A)(B)(E)
(A)對
由0<a<1與0<b<1,得
(B) 對
0+0<a+b<1+1=2 ⇒ 0<a+b< 2.
因 0 <a< 1且b>0,有0< ab < b; 又 0 <b<1,故0<ab < 1.
(C) 錯
反例:取 a = 0.2,b=0.8,則b-a=0.6 > 0,不滿足 -1<b-a<0。
(D) 錯
反例:取a= 1;b= (皆在(0,1))
a 1/2
則
a
=
=3>1,不滿足0<<1。
6
b 1/6
b
<<10
(E)對
由0<a<1⇒ -1 < -a < 0,與0<b<1相加得
-1<b-a<1 ⇒ |a-b| < 1.
1

ページ19:

題目:設 a,b,c, d 是實數,下列選項哪些正確?(多選)
(A) 若 a > b,則 ac > be
題 ABCDE
若 a > b,c> d,則a-c>b-d
若 a > b, c > d,則 ac > bd
若 a > b, c > d,則a+c>b+d
(E) 若 |a|< b,則a+b>0
解(筆記整理)
答案:(D)(E)
(A) 錯
一般而言,從a>b乘以同號數時不等號方向不變,乘以負數時方向改變。
此題缺少c>0的條件;若c<0,則由a>b推得 ac < bc。
(⇒ 正確敘述應為:「若a>b且c> 0,則ac> bc」。)
(B)錯(反例)
取 a = 2, b = 1, c = 3, d = −1。則a>b、c>d成立,但
a-c=2-3 = -1,
故−1/2,命題不成立。
b-d=1-(-1) = 2,
(C)錯(反例)
取 a = 2, b = 3,c=4,d=-5。則a>b、c>d成立,但
ac = 2.4 = 8, bd = (−3)-(-5) = 15, 8 < 15,
故不一定有 ac > bd。
(D)對
由a>b與c>d逐項相加,得
a+c > b+ d.
(E)對
由 |a| < |b| 得 |b| - |a| > 0°且 a ≥ -|a|,故
a+b ≥−a+b| = |b|- a > 0.
因此 a + |b| > 00
1

ページ20:

題目:
11,
2
(1)數線上A, B兩點的坐標分別為-ㄢˇ ㄅㄧㄢ),且P點在AB上,若 AP:BP =2:3,
求數線上P點的坐標。
(2)數線上A,B兩點的坐標分別為-5,9,若AP:BP=3:4,求數線上P點的坐
槽。
解(筆記整理)
(1)由分點公式:
P =
3a+26
2+3
a =
-1, b = 11.
代入:
故P點坐標為ㄓㄨㄛ
。
P =
(2)(i) 若 P 在AB 上,則
3(-3)+2(号) -7+11 4
5
5
P =
4a+36
3+4
a=−5,b= 9.
4(−5) +3(9)
P =
7
-20 +27 7
7
= 1.
(ii) 若 P 不在 AB 上,則由外分公式:
(-5).1+9.3
P =
1-3
-5+27 22
-11,
-2
-2
但這與解答中步驟稍異,依其推導:設AP:AB = 3:1,得 x = -47。因此可得外分
情形的另一解。
結論: P 點坐標可能為 1 或 -47。
輔助圖(數線示意)
P(−47) (外分,示意)
A(-5)
P(1)
B(9)
1

ページ21:

題目:
數線上兩點 A(-5),B(7),若滿足AC : BC = 3 : 2,則點 C 有兩個,試求這兩個點
之間的距離。
解(筆記整理)
已知A(-5),B(7)。
1. 若C 在AB上(內分):由分點公式
代入得
2a+36
C =
"
a = −5, b = 7,
3+2
C =
2(-5)+3(7)
5
-10+21
11
5
5
2. 若 C' 不在 AB 上(外分): 由外分公式
2a-3b
C =
a=−5, b = 7,
2-3
或依解題過程設 C=æ,計算得
æ= 31.
因此,兩個點分別為C1=1、C2= 31, 距離為
11 155-11
144
31
-
5
5
5
144
兩點距離
5
數線示意圖
A(-5)
Ci(号)
B(7)
1

ページ22:

題目:甲、乙兩人分別位於高鐵站的西方6公里、東方 21 公里處,同時以等速相向
而行,若速率比為45,他們會在距離高鐵站_公里的地方相遇。
解(筆記整理)
設高鐵站座標為 O(0),甲初始A(-6),乙初始B(21)。相遇點為P。
相向等時到達P,路程比AP:BP=速率比=4:5(內分)
分點公式(內分):
。
P =
5.A+4.B
4+5
5(-6)+4(21) −30+84
54
= 6.
9
9
9
故 P 的座標為6,即距離高鐵站 6 公里(東方)。
數線示意圖
A(-6)(甲)
高鐵站 O(0)
P(6) 相遇點
B(21)(乙)
-6
0
6
AP:PB=4:5
21
1

ページ23:

題目:設實數 rs滿足r<s
r+3s
r+5s
5r+ s
a =
b
C =
4
6
6
求a,b,c的大小次序,並畫數線示意圖。
解(筆記整理)
設數線上兩點 R(r)、S(s)且r<so
r+3s
•u=
:為 RS 的四等分點中,從RS的第 3 個(位置比例)
b =
4
r+5s
6
:為 RS 的六等分點中,從R往S的第5個(位置比例 )
5r+ s
:為 RS 的六等分點中,從RS的第1個(位置比例ㄒㄧ)
6
因為
1
<
6
3
4
5
<
且三點皆在r 與s 之間(屬於RS 上的內分點),故在線上的先後次序為
c<a<b
數線示意圖
5r+sa
~+38
r+5s
數線
R(r)
1
°

ページ24:

題目:三、區間的表示法
1. 在數線上標出不同條件下實數的範圍,並說明端點是否包含。
2. 用區間符號([]為閉端、()為開端)表示;∞ 代表無窮大(不可被包含)
1.數線示例(端點空心=不包含;實心= 包含)
(1) æ > 2:由 2向右,不含2。
2
(2) æ≤ 2:由2向左,包含2。
區間表示: (2,0)
區間表示:(-0.2]
2
(3)-1≤æ<2:介於-1與2,左含右不含。
區間表示: [-1,2)
2. 常見條件 ↔ 區間表示(整理表)
條件(不等式)
x = 2
æ < 2
x ≥ 2
-1< x <2
æ<1或æ≥3
區間表示
[2,2]
(−0,2)
[2,∞)
(-1,2]
(−∞, 1) ∪ [3, ∞)
æ < -1 且 æ > 2
全體實數
ø(不可能)
(18,8)
3. 小重點(符號讀法)
• [a,b]:閉區間,包含兩端點a,b。
• (a,b):開區間,不包含兩端點。
.
·[a,b)、(a,b]:半開半閉。
1

ページ25:

♡ 與 −♡ 不能被包含,故只能用( 或 )在其旁邊。
●U讀作「聯集」,對應邏輯的「或」
2

ページ26:

題目:在數線上標出以下範圍
(1) æ> 3 (2) −2 ≤ æ<4
æ > 2 或 æ <−1 (4) æ ≥ -1 且 æ ≤2
(1)x>3 區間:(3,∞)
-2
(2)-2≤x<4 區間:[-2,4)
(3) æ > 2 或 x < -1 區間:(-x,−1)∪ (2,∞)
(4) æ ≥ −1 且 x ≤2 區間:[-1, 2]
1
-1
2
4
。
2

ページ27:

主題:實數的絕對值(幾何意義性質方程/不等式)
絕對值的幾何意義
對任意實數a,b:
|a| 代表數線上點a與原點0 的距離;
la-b代表數線上點a與b的距離.
二、絕對值的性質
對任意實數a,b(且b≠0時):
|a| ≥ 0,
|a| = |— a|,
|ab|=|a||b|,
常用分段表示:
a,
a ≥ 0,
a - b, ab,
|a| =
|a = b| =
-a, a<0,
三、含絕對值的一次方程/不等式
(1) 絕對值方程式
設 a ≥ 0, x ∈ R。若 || =a,則
(2) 絕對值不等式(a>0)
x = a或æ
x=-a
(i) |c| ≤ a 等價於 -a≤x≤a,區間表示「-a,a
- a₁ a <b.
a
(ii) |c| ≥ a 等價於x≤ -a 或 x≥a,區間表示
-a
小結:
[<a ⇔ a ≤ æ ≤ a,
a
a
-∞, -a] U [a,∞)|
。
|x| ≥ a ⇒ x ≤ −a ³ x ≥ a (a > 0).
1

ページ28:

題目:解下列方程式,並將解描繪在數線上
(1) |x|=5 (2) | x - 3| = = 2 (3)|c + 4|=6
解(筆記整理)
(1) |c| = 5
|c| 代表 x 與 0 的距離,故距離為5的點有兩個:
|x=5或æ=-5
æ=5
5
x = 5
5
(2) |x-3| = 2
|c - 3| = 2 表 x與3的距離是2,故
|æ=5或x=1
(代數法:x-3=2或x-3= -2)
x = 1
æ=5
1
3
5
(3) |c + 4| = 6
|c + 4| = |c - (-4)=6表x與4的距離是6,故
x=2或x = -10|
(代數法:x+4=6或æ+4=-6)
x = -10
-10
-4
æ=2
2
1

ページ29:

題目:解下列各方程式
(1) 設 |c + 2| = 3,求æ。 (2) 設 |2x - 1| = 5,求æ。
解(筆記整理)
(1) |æ + 2| = 3
(2) |2x-1| = 5
|c+2|=3 ⇒ æ+2=3或x+2=−3
⇒ æ=1或 x = -5.
æ=1或æ= -5
|2x-1|=5 ⇒2r-1=5或2x-1=-5
⇒ 2x = 6或2x=-4
⇒ æ=3或æ = -2.
x=3或x=-2
1

ページ30:

題目:
(1) 數線上 A, B 兩點,已知A的座標為4且AB=6,求 B 的座標。
(2) 數線上 A,B,C,D四點,已知A=−2,B= 7, C = 24,若 AB
=
CD,求 D 的
座標
。
解(筆記整理)
(1) 設B的座標為æ。 由距離定義
AB = |4−x|= 6.
解絕對值:
4-æ=6 ⇒
x = -2 或 4-æ= -6 ⇒ x = 10.
B = -2 或10
(2) 設 D 的座標為y。先求
AB -2-7|=9.
條件 CD = AB 得
|24 - y] = 9.
解絕對值:
24-y=9 ⇒ y=15 或 24-y=-9 ⇒ y = 33.
D = 15 或 33
1

ページ31:

題目: 數線上三點 A, B, C 所代表的數分別為3,5,8。將AB十等分,由左至右
| 其,3個等分點為P;將BC五等分,由左至右其,2個等分點為Q。求PQ 的長度。
解(筆記整理)
已知 A = 3, B = 5, C = 8。
求P:
2
AB = |5 - 3| = 2,十等分每一段
由左(由A起)至右第3個等分點:
= 0.2.
10
18
P=3+3×0.2 = 3.6 =
5
求Q:
BC = |8 - 5| = 3, 五等分每一段
由左(由 B 起)至右第2個等分點:
= 0.6.
31
Q=5+2×0.6 = 6.2 =
5
求PQ:
PQ = |Q – P| = |6.2 - 3.6| = 2.6 =
35
31
18
8-5
13
5
5
數線示意圖
A(B)(3.6) B(5) Q(6.2)
C'(8)
+
3
4 5 6
7
8
PQ
=
13
5
1

ページ32:

題目:設 |x-1| + |c - 2| = 4,求æ。
解(筆記整理)
分三段討論(依端點1,2切分):
(1) 當 x < 1 時
|c - 1| = 1 - x,|c-2|= 2-c,
(1-x)+(2-x) =4 ⇒ 3−2x=4⇒ −2x=1 ⇒
符合區間x<1。
(2) 當 1≤ x<2時
|c - 1| = x - 1,|x-2|= 2-æ,
(c - 1) + (2-x)=4 ⇒ 1=4,
矛盾,故此區間無解。
(3)當x ≥ 2時
1
|c - 1| = x - 1,|æ- 2| = c- 2,
(x-1)+(x-2)= = 4 ⇒ 2æ-3=4 ⇒ 2x = 7 ⇒ æ=
符合區間 x ≥2。
x = = 或c=
7-2
1
7-2

ページ33:

題目:設3x+c - 1| = 7,求z。
解(筆記整理)
依臨界點x=1分段討論:
(1) 當x ≥ 1時,|x-1|=c-1,故
3c + (x - 1) = 7 ⇒ 4c-1=7 ⇒ 4x =8 ⇒ æ = 2.
符合區間 x ≥ 1。
(2)當x<1時,|c - 1| =1-æ,故
3c+ (1-x) = 7 ⇒ 2x+1=7 ⇒ 2x=6 ⇒ æ = 3,
但 x=3不屬於區間x<1,捨去。
æ=2
1

ページ34:

題目:設|2x-1| = |x + 3|,求 z
x °
解(筆記整理)
方法一:分段討論(依臨界點 x=
與 æ=−3)
(1) 當 æ ≥ 時,2x-1≥ 0, æ + 3 > 0,故
2
|2x - 1| = 2.x − 1, |c + 3| = c + 3.
方程成為
2æ -1 = x +3 ⇒ x=4,
且4≥ㄒㄧㄢ符合條件。
(2) 當 −3 ≤ æ <
時 ,2x-1< 0,æ+3>0,故
2
|2c - 1] = -(2x - 1) = −2x + 1,
|x + 3| = x + 3.
方程成為
2
−2c+1 = c+3 ⇒ −3c = 2 ⇒ c
3'
且 −3 ≤ - < 符合條件。
(3) 當 æ < −3時,2z - 1 < 0,æ +3<0,故
|2x − 1| = −2x +1, |x+3| = −(x + 3) =
= -2 - 3.
方程成為
−2x+1= -æ-3 ⇒ -æ = −4 ⇒ æ = 4,
但4丈−3,不合,捨去。
綜合上面各段,解為
方法二:兩邊平方(驗根)
x =
æ=4
|2x − 1| = |x +3| ⇒ (2x − 1)² = (x+3)² ⇒ 4x² - 4x + 1 = x² + 6x +9.
2
3z²- 10x - 8=0⇒ (3x+2)(x-4)=
=0⇒> x= -
或æ = 4.
(兩解皆代入原式可成立。)
1

ページ35:

題目:試問有多少個整數滿足不等式 [z-10 < [z - 60| < [z+10?(單
選) (110試辦 A)
(A)8個 (B)9個(C) 10個(D) 11個(E)20 個
解(筆記整理)
把鏈式不等式拆成兩個條件:
(i) |æ − 10| < |x - 60|, (ii) |x - 60| < |x + 10|.
因兩側皆為非負,平方不等式不改變方向。
(i) |æ − 10| < |c - 60|
(x - 10)² < (x - 60)²
⇒ x² •20x+100<²
·120+3600
100z + 100 < 3600⇒ 100z<3500⇒ æ < 35
(ii) |x − 60| < |x + 10|
-
(z − 60)? < (x + 10)2
2
=
- 120x+3600 < z² + 20z + 100
⇒ −140z +3600<100⇒ -140z<-3500⇒
綜合 由(i)、(ii)得
æ > 25
25 < æ < 35
因此整數解為 æ=
x = 26,27,..., 34, 共有
34-26+1=9個
答案:(B)
數線示意
整數解:26~34
25
35
1

ページ36:

題目:解下列不等式並在數線上繪圖表示
(1) |2x - 1| > 3
解(筆記整理)
(2) |2x-1| < 3
(1) |2x − 1| > 3
|2x-1|>3 ⇔ 2x-1>3或2x-1<-3
⇔ æ>2或æ < -1.
區間表示: (-∞,-1) U (2,∞0)|
。
-1
2
(2) |2c - 1| < 3
|2x-1|<3 ⇔ −3<2x-1<3⇔ −2<2x< 4 ⇔ -1<æ < 2.
區間表示:(-1,2)
-1
2
1

ページ37:

題目:試求滿足 3< |3c-2|≤8 之範圍
°
解(筆記整理)
拆為兩種情況:
3 < |3c- 2| ≤ 8
(1) 當 3z - 2 ≥ 0 時,即æ ≥ ㄓㄨㄢ,有
3 < 3x - 2 ≤8 ⇒ 5<3r ≤ 10 ⇒ < x ≤ 10.
(2) 當 3z - 2 < 0 時,即 æ < ㄅㄧㄢ,有
3 < - (3c - 2) ≤8 ⇒ 3< −3c+2≤8 ⇒ 1<−3z ≤6.
兩邊同除以 −3(不等號反向):
-> x ≥ −2 −2 ≤ x < − ½³3.
綜合以上:
數線示意
-2
−2≤æ<- 或60<x<
10
<f
3
0523
1
10
103

ページ38:

題目: 若「-3c+a|≤b 的解為 -1 ≤x≤5,求數對 (a, b)。
解(筆記整理)
方法一:兩端對應法 由
|-3x+a|<b⇔ b≤ −3c+a<b ⇔ b-a≤-3x≤b-a.
同除以−3(不等號方向反向):
a+b
3
≥ x ≥
a-b
3
a-b
a+b
≤ x ≤
3
3
題意給的解集為[-1,5],故端點對應:
a-b
3
a+b
= -1,
5 =>
3
a-b= -3.
a+6= : 15.
聯立可得
2a = 12 ⇒ a = 6, 6=9.
因此(a,b)=(6,9)
。
方法二:區間「中點+半徑」
[-1,5]的中點為2,半徑為3,故
-1≤x≤5 ⇔ |r−2 ≤3.
將其改寫為係數 -3 的形式:
|æ−2|≤3 ⇔ |-3(x-2)| ≤9 ⇔ |−3c+ 6| ≤ 9,
對照 | −3x+a| ≤ b得 a=6,b=9。同樣得到
(a,b)=(6,9)
1

ページ39:

題目:已知 a,b 為實數,若 |ar-4|>b 的解為æ> 15 或 æ < 1,求 a+b。
解(筆記整理)
想法 1(利用「中點+半徑」): 由解集 æ > 15 或x<1可知臨界點在x=1,15。
取中點與半徑:
1 + 15
15-1
中點8=
半徑7=
2
2
因此
æ > 15 或 æ < 1 ⇔ |æ - 8| > 7.
把 |ax - 4| 化為 |入(x-8)的型式:
|ax — 4| = |a (x − )|.
a
要與 |æ - 8| > 7 等價,需有 4 =8(同一中心)與 |a|= - = (比例匹配)
由=8⇒a=1,再由
。
[z-8|>7
[ar−4|>b 台
x- > b
b = .
故
a = 1, b =
a+b=4
想法2(端點對應):
若 a > 0,由 |ax -4|>b的等號臨界點滿足
4±b
ax-4= +6 ⇒ x =
a
給定臨界點為1,15,故
4-6
4+b
b = a,
= 1,
= 15 ⇒
⇒ 8 = 16g ⇒a= =6 = ㄅㄨㄛˇ
a
a
4+6=15a,
同得 a+b=4
°
1

ページ40:

題目:解不等式 |x-1| + |c-2| ≥4 的解。
解(筆記整理)
依分段點 x = 1, 2 討論:
(1) 當 x < 1 時
|x − 1| = 1 − x, |x − 2 = 2 x
(1 - r) + (2 - z) ≥4 ⇔ 3−2z ≥4 ⇔ 2x ≥1⇔æ
1
在區間 x <1 下可行,故此段解為 æ≤
2
(2) 當 1 ≤ x < 2 時
|c - 1| = x - 1,|c-2|= 2-æ,
(c - 1) + (2 - x)≥4 ⇔ 1≥4,
矛盾,⇒ 此段 無解。
(3)當æ ≥ 2時
|æ - 1| = x − 1,|x- 2| = x- 2,
(c - 1) + (c - 2) ≥4⇔2c-3≥4 ⇔ æ
在區間 x≥2 下可行,故此段解為 ≥
綜合:
x<
亦即區間表示為(一○,∪[∞)。
8
7-2
1-2
IV
1
_7-2
IV
7-2

ページ41:

題目:解不等式 |æ − 5| > |2x - 4| 的解為何?
解(筆記整理)
以臨界點 x=5與x=2分段討論:
(1) 當 æ ≥ 5 時:
|c - 5| = x - 5, |2x = 4| = 2x − 4 (. 2x — 4 > 0).
不等式成為x-5>2r-4⇒ -æ>1⇒æ< -1,與x≥5矛盾,⇒ 無解。
(2)當 2≤ x < 5時:
|c - 5| = 5 - c, |2x-4|=2x-4.
5 - æ > 2æ −4 ⇒ −3æ > −9 ⇒ æ< 3.
與區間合併得 2≤æ<3
。
(3)當æ<2時:
|c - 5| = 5 - c, |2c-4|=-(2c−4) = −2x+ 4.
5 - æ > -2c+4 ⇒ æ> −1.
與區間合併得|−1<r<2
綜合:
。
-1<æ<3 (區間表示:(-1,3)).
另解(平方法,記得驗根)
因兩側皆非負,平方不等式不改方向:
|x-5| > |2x - 4| ⇔ (c−5)² > (2x-4)².
x² - 10x + 25 > 4x² - 16x + 16 ⇒ 3x² - 6x - 9<0⇒ 3(x+1)(x − 3) < 0.
由拋物線開口向上得介於根之間:
數線示意
−1<æ<3
-1
3
1

ページ42:

題目:世界衛生組織(WHO)規範男性標準體重公式:
|標準體重(kg) = (身高(cm)-80)×0.7。
若以±10% 的範圍為「正常體重範圍」。已知一位身高170公分的男性體重為 x 公
斤,
「其正常體重範圍可寫成|x-al≤b,求a+b。
解(筆記整理)
標準體重:
a = = (170-80)×0.7=90×0.7=63 (kg).
正常範圍為±10%:
6 = 0.1 × 63 = 6.3.
故正常體重範圍為
63 − 6.3 ≤ x ≤ 63+6.3 ⇔ c−63| ≤6.3.
因此
a =
63, b= 6.3,
a+b=69.3
1

ページ43:

題目:郊區一直線路段上,水廠 A(−2) 與電廠 B(4)。住戶P(x)的基本費定義為
2.(到電廠距離)+(到水廠距離)=2c-4|+ [c+2]。
若基本費不超過 21 元,求住戶座標x的範圍。
解(筆記整理)
欲解 2|c−4|+ [c+2|≤21。依分段點-2,4討論:
(1) 當 x ≥ 4 時,|z - 4| = x - 4, |c + 2| = c + 2
2(c − 4) + (c + 2)≤21 ⇔ 3c-6≤21 ⇔ æ≤ 9.
合併區間 4≤x≤9。
(2)
-2x < 4 \ ' |x − 4| = 4−x, |x+2| = x+2
2(4− c) + (c+ 2)≤21 ⇔ 10-æ≤21 ⇔ ¢ ≥ −11.
合併區間得「-2≤æ<4。
(3) x < −2, |x − 4| = 4 − x, |x+2| = −(x+2) = −x − 2
2(4− x) + (−c −2)≤21 ⇔ 6–3z≤21 ⇔ æ > −5.
合併區間得-5 ≤ æ < −2
°
綜合:
-5 ≤ æ≤9 (區間表示: [-5,9] ).
數線示意圖
-5
1
9

ページ44:

題目:一張 B4 長方形紙張對折剪開成B5後,形狀與原 B4 相似。已知B4 的長邊
「為36.4公分,求其短邊長(取四捨五入到小數點後第一位,已知V2≈1.414)
解(筆記整理)
°
B系列紙張的長寬比為V2:1。設B4的短邊為(公分) 長邊為 36.4(公分),則
36.4
√2 => x =
X
36.4 36.4
1.414
≈ 25.7548...
四捨五入到小數點後第一位:
æ ~ 25.7 公分
(亦可由對折相似比寫成²=36.4×18.2=18.22.2⇒c=18.2V2≈18.2×1.414≈
25.7 公分。)
小示意(非等比例)
1
B4
B5
【對折線
短邊~25.8