ページ3:

หน้า 4: ฟังก์ชัน - แทนค่า โดเมน และฟังก์ชันผกผัน
ฟังก์ชันไม่ใช่แค่ f(x) แต่คือความสัมพันธ์ที่ X หนึ่งค่าให้ y ได้ค่าเดียว
อธิบายให้เข้าใจง่าย
• ถ้า f(x)=2x+3 การหา f(4) คือแทน X ด้วย 4 ทุกตําแหน่ง ได้ 2(4)+3 = 11
• โดเมนคือค่าของ X ที่ใช้ใด้ ต้องระวังตัวส่วน ามเป็น 0 และค่าภายใต้รากที่สองต้องไม่ติดลบ
• ฟังก์ชันประกอบ (f-g)(x) = f(g(x)) ให้ก๋า g(x) ก่อน แล้วเอาผลไปแทนใน f(x)
โจทย์ฝึกทําเอง
1 f(x)=2x+1 หา f(5)
2 f(x)=x-4 หา f(-3)
3 f(x)=1/(x-2) ห้าม X เก่าโร
4 f(x)=2x+3 หา f(x)
5 f(x)=x+1, g(x)=x* หา (f-g)(x)
6 g(x)=3x, f(x)=x-2 หา (f-g)(4)
ขีดไฮไลท์: จุดที่ต้องจำ
7 f(x)=x-7 หา f(10)
หา f(x): เขียน y=f(x) → สลับ x,y → แก้หา y
ตัวส่วนห้ามเป็น 0
8 f(x)=4x หา f(x)
รากที่สองต้องมีค่าข้างใน ≥ 0
ตัวอย่างพร้อมวิธีคิด
ถ้า f(x)=3x-5 จงหา f(x)
1. เขียน y = 3x - 5
2. สลับ X กับ y ได้ x = 3y - 5
3. แก้หา y: x+5 = 3y ดังนั้น y = (x+5)/3
4. จึงได้ f(x) = (x+5)/3
| เช็กก่อนสอบ
1) อ่านโจทย์แล้ววงคําสําคัญ 2) เลือกสูตรจากกล่องไฮไลท์ 3) ท่าทีละบรรทัด 4) ตรวจหน่วยหรือเงื่อนไขค่า
ตอบ
9 f(x)=√(x-3) โดเมนคือ
10 f(x)=1/(x+5) ห้าม X เท่าไร
11 g(x)=x+2 f(x)=3x หา (f-g)(x)
12 f(x)=x′ หา f(a+1)
เฉลยสั้น
1) 11
3) x=2
5)x²+1
7)3
9)x≥3
11) 3x+6
2)5
4)(x-3)/2
6) 10
8) x/4
10)x+5
12) (a+1)*
วิธีใช้หน้านี้: ท่าโจทย์ข้อ 1-6 ก่อนดูเฉลย แล้วท่าข้อ 7-12 อีกครั้งเพื่อวัดว่าจําสูตรได้จริงไหม
ชีทคณิต ม.ปลาย อ่านก่อนสอบ สรุปสูตร + วิธีกาโจทย์ | หน้า 4/12
MATH 12

ページ4:

หน้า 6: ตรีโกณมิติ - สามเหลี่ยม มุม และเอกลักษณ์
จําสูตรหลักให้น้อย แต่ใช้ให้ถูก จะทำโจทย์ได้เร็วขึ้น
อธิบายให้เข้าใจง่าย
• ตรีโกณเริ่มจากสามเหลี่ยมมุมฉาก โดย sine = ข้าม/ฉาก, cose = ชิด/ฉาก, tan8 =ข้าบ/ชิด
• มุมพิเศษที่ควรจ้าคือ 30°, 45°, 60° เพราะออกสอบบ่อย และมักใช้ร่วมกับรูปสามเหลี่ยม
• ถ้าโจทย์ให้ค่า sin หรือ cos แล้วให้หาอีกตัวหนึ่ง ให้ใช้เอกลักษณ์ sin'e + cose = 1 ก่อนเสมอ
โจทย์ฝึกทําเอง
1 sin30º เท่ากับ
2 cos60° เท่ากับ
3 tan45° เท่ากับ
4 ถ้า sin =5/13 หา cose เมื่อ 8 แหลม
5 ถ้า cos8=12/13 หา sine เมื่อ 8 แหลม
6 tang = sine/cose ถ้า sin=3/5 cos=4/5 หา tan
ขีดไฮไลท์: จุดที่ต้องจำ
sin²0+ cos²0=1
tane = sine/cose
sin30°=1/2, cos60°=1/2, sin45°=√2/2
ตัวอย่างพร้อมวิธีคิด
ถ้า sine = 3/5 และ 8 เป็นมุมแหลม จงหา cose
1. ใช้ sin’@ + cose = 1
2. (3/5) + cos’8 = 1
3. 9/25 + cos’8 = 1 จึงได้ cos’8 = 16/25
4. มุมแหลม cos เป็นบวก ด้งนั้น cose = 4/5
7 cos30° เท่ากับ
8 sin60° เท่ากับ
9 ถ้า sin=8/17 หา cos เมื่อมุมแหลม
10 ถ้า tan=1 และมุมแหลม มุมคือ
11 sine+cose เท่ากับ
12 ถ้า cos−3/5 sin=4/5 หา tan
เฉลยสั่น
1) 1/2
3)1
5) 5/13
7) √3/2
9) 15/17
2) 1/2
4) 12/13
6) 3/4
8) √3/2
เช็กก่อนสอบ
1) อ่านโจทย์แล้ววงคําสําคัญ 2) เลือกสูตรจากกล่องไฮไลท์ 3) ทำทีละบรรทัด 4) ตรวจหน่วยหรือเงื่อนไขค่า
ตอบ
11) 1
10) 45°
12) 4/3
วิธีใช้หน้านี้: ท่าโจทย์ข้อ 1-6 ก่อนดูเฉลย แล้วท่าข้อ 7-12 อีกคร้งเพื่อวัดว่าจ่าสูตรได้จริงไหม
ชีทคณิต ม.ปลาย อ่านก่อนสอบ | สรุปสูตร + วิธีก่าโจทย์ | หน้า 6/12
MATH 12

ページ5:

หน้า 3: ตรรกศาสตร์ - จริง เท็จ และการให้เหตุผล
จ่าเงื่อนไขให้แม่น โดยเฉพาะ 'ถ้า...แล้ว....
อธิบายให้เข้าใจง่าย
• ประพจน์คือข้อความที่ตัดสินได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ เช่น 2+3=5 เป็นประพจน์ แต่ "สวยจัง' ไม่เป็น
ประพจน์เพราะตัดสินจริงเท็จไม่ได้
• P A q แปลว่า p และ q จะจริงเมื่อทั้งคู่จริง ส่วน p V q แปลว่า p หรือ q จะเท็จเฉพาะกรณีที่ทั้งคู่
เท็จ
・p → q แปลว่า ถ้า p แล้ว ๆ จะเท็จเพียงกรณีเดียวคือ p จริง แต่ q เท็จ นี่คือจุดที่นักเรียนพลาดบ่อย
ที่สุด
ขีดไฮไลท์: จุดที่ต้องจำ
p → q สมมูลกับ ~p V q
นิเสธของ 'ทุกคนผ่าน′ คือ ‘มีอย่างน้อยหนึ่งคนไม่ผ่าน
นิเสธของ ‘มีบางคนผ่าน' คือ 'ทุกคนไม่ผ่าน'
โจทย์ฝึกทําเอง
1 ถ้า p จริง q จริง หา PAC
2 ถ้า p เท็จ 9 จริง หา pvq
3 ถ้า p จริง ๆ เกืจ หา p-q
4 นิเสธของ 'ทุกคนสอบผ่าน คืออะไร
5 p→q สมมูลกับรูปใด
6 ถ้า p เก็จ q เก็จ หา pvq
7 ถ้า p เก็จ 9 จริง หา p-q
8 ถ้า p จริง ๆ จริง หา p-g
ตัวอย่างพร้อมวิธีคิด
ให้ p เป็นจริง และ q เป็นเท็จ จงหาค่า p-q
1. เงื่อนไขแบบ p → q จะเท็จเฉพาะ p จริง แต่ q เท็จ
2. โจทย์ให้ p จริง ๆ เก็จ พอดี
3. ดังนั้น p → q เป็นเท็จ
| เช็กก่อนสอบ
1) อ่านโจทย์แล้ววง าสําคัญ 2) เลือกสูตรจากกล่องไฮไลท์ 3) ท่าทีละบรรทัด 4) ตรวจหน่วยหรือเงื่อนไขค่า
ตอบ
9 นิเสธของ มีนักเรียนบางคนมาเรียน"
10 pAq เท็จเมื่อใด
11 pvg จริงเมื่อใด
12 ถา -p จริง แปลว่า p เป็นอะไร
| เฉลยสั้น
1) จริง
3) เก็จ
5)-pvq
7) 250
9) นักเรียนทุกคนไม่มาเรียน
2) จริง
4) มีอย่างน้อยหนึ่งคนสอบไม่ผ่าน
6) เท็จ
8) จริง
10) มีอย่างน้อยหนึ่งตัวเท็จ
11) มีอย่างน้อยหนี่งตัวจริง
12) เกือ
วิธีใช้หน้านี้: ท่าโจทย์ข้อ 1-6 ก่อนดูเฉลย แล้วก้าข้อ 7-12 ซ้ำอีกครั้งเพื่อวัดว่าจ่าสูตรได้จริงไหม
ชีทคณิต ม.ปลาย อ่านก่อนสอบ สรุปสูตร + วิธีกําโจทย์ | หน้า 3/12
MATH 12

ページ6:

หน้า 7: เมทริกซ์ - ตารางตัวเลขและระบบสมการ
เข้าใจขนาดเมทริกซ์ก่อนคํานวณ จะลดความผิดพลาดได้มาก
อธิบายให้เข้าใจง่าย
• เมทริกซ์คือการจัดตัวเลขเป็นแถวและหลัก เช่น เมทริกซ์ 2×2 มี 2 แถว 2 หลัก การบวกและลบท่าได้
เฉพาะเมทริกซ์ขนาดเท่ากัน
• การคูณเมทริกซ์ต้องดูขนาด ถ้า A เป็น m×n และ B เป็น nxp จึงคูณกันได้ ผลลัพธ์เป็น mxp
+ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2 X 2 ใช้บอกว่าเมทริกซ์มีอินเวอร์สหรือไม่ ถ้า det = 0 จะไม่มีอินเวอร์ส
โจทย์ฝึกทําเอง
1 หา det [[1,2],[3,4]]
2 หา det [[5,0].[2.3]]
3
เมทริกซ์ 2 X 3 คูณ 3X4 ได้ขนาดใด
4
เมทริกซ์ 2 X 2 บวก 2×3 ได้ใหม
5
ถ้า det=0 มีอินเวอร์สใหม
6 หา det [[2,3],[4.6]]
|ขีดไฮไลท์: จุดที่ต้องจำ
det [[a,b], [c,d]] = ad- bc
A-1 มีได้เมื่อ det(A) ≠0
คูณเมทริกซ์: ตัวกลางต้องเท่ากัน ผลลัพธ์เอาตัวนอก
7
เมทริกซ์ 3×2 คูณ 2×5 ได้ไหม
8 ผลลัพธ์จากข้อก่อนขนาดใด
9 det [[4.1].[22]]
10 ถ้า det=0 สรุปอะไร
11 A+B ต้องมีเงื่อนไขได
ตัวอย่างพร้อมวิธีคิด
หา det ของ A = [[2,1],[3.4]]
1. ใช้สูตs det = ad - bc
2. a=2, b=1, c=3, d=4
3. det(A)=2(4)-1(3)=8-3=5
4. เพราะ det ไม่เป็น 0 ดังนั้น A มีอินเวอร์ส
█เช็กก่อนสอบ
1) อ่านโจทย์แล้ววงคําสําคัญ 2) เลือกสูตรจากกล่องไฮไลท์ 3) ทําทีละบรรทัด 4) ตรวจหน่วยหรือเงื่อนไขค่า
ตอบ
12 det [[1,5],[2,10]]
เฉลยสั้น
1)-2
3) 2x4
2) 15
4) ไม่ได้
5) ไม่มี
7) ได้
9)6
6) 0
8) 3x5
10) มีอินเวอร์ส
11) ขนาดเท่ากัน
12) 0
วิธีใช้หน้านี้: ท่าโจทย์ข้อ 1-6 ก่อนดูเฉลย แล้วก้าข้อ 7-12 ชาอีกครั้งเพื่อวัดว่าจําสูตรได้จริงไหม
ชิกคณิต ม.ปลาย อ่านก่อนสอบ | สรุปสูตร + วิธีทำโจทย์ | หน้า 7/12
MATH 12

ページ7:

หน้า 9: ลำดับและอนุกรม - ดูรูปแบบก่อนใช้สูตร
แยกให้ได้ก่อนว่าเป็นเลขคณิตหรือเรขาคณิต
อธิบายให้เข้าใจง่าย
• ลําดับเลขคณิตคือบวกหรือลบเก่าเดิมทุกครั้ง เช่น 5,8,11,14 มีผลต่างร่วม d=3
• ลําดับเรขาคณิตคือคูณหรือหารเท่าเดิมทุกครั้ง เช่น 2,6,18,54 มีอัตราส่วนร่วม r=3
• ก่อนใช้สูตรให้ตรวจรูปแบบก่อนเสมอ เพราะถ้าใช้สูตรผิดประเภท คําตอบจะผิดทันทีแม่คํานวณถูก
โจทย์ฝึกทําเอง
1 2,5,8,... หา d
2 หา a10 ของ 2,5,8,...
3
3,6,12,... Kr
หา ล, ของ 3,6,12,...
5 ผลบวก 1+2+3+...+20
6
ลำาดับ 10,7.4.... หา as
ขีดไฮไลท์: จุดที่ต้องจำ
เลขคณิต: an #a, + (n-1)d
ผลบวกเลขคณิต: S. = n/2(a,+an)
เรขาคณิต: an = a,rn1
ผลบวกเรขาคณิต: Sn = a (r"-1)/(r-1)
7 1,4,7, หา ais
8 2,4,8,... K1 as
9
ผลบวก 2+4+6+...+20
10 ลำาดับ 81,27,9.... หาก
ตัวอย่างพร้อมวิธีคิด
ลาดับ 4,7,10,... จงหาพจน์ที่ 20
1. เป็นลำาดับเลขคณิต เพราะบวกเพิ่มทีละ 3
2. a,−4, d=3, n=20
3. a20 = 4 + (20-1)3 = 4+57 = 61
█เช็กก่อนสอบ
1) อ่านโจทย์แล้ววงค่าสำาคัญ 2) เลือกสูตรจากกล่องไฮไลท์ 3) ท่าทีละบรรทัด 4) ตรวจหน่วยหรือเงื่อนไขค้า
ตอบ
11 a,=5 d=2 หา ล
12 a=3 r=2 หา ay
เฉลยสั้น
1) 3
3) 2
5) 210
7)43
9) 110
2) 29
4)96
6) -2
8)32
10) 1/3
11) 19
12) 192
MATH 12
วิธีใช้หน้านี้: ท่าโจทย์ข้อ 1-6 ก่อนดูเฉลย แล้วท้าข้อ 7-12 ซ้ำอีกครั้งเพื่อวัดว่าจ่าสูตรได้จริงไหม
ชีทคณิต ม.ปลาย อ่านก่อนสอบ สรุปสูตร + วิธีทำาโจทย์ | หน้า 9/12

ページ8:

หน้า 10: ความน่าจะเป็น - โอกาสและหลักการนับ
บททําคะแนนได้ดี ถ้าแยก P กับ C ได้ถูก
อธิบายให้เข้าใจง่าย
• ความน่าจะเป็นคือจํานวนผลลัพธ์ที่ต้องการหารด้วยจํานวนผลลัพธ์ทั้งหมด เช่น ทอยลูกเต๋าแล้วออก
เลขคู่ มี 3 จาก 6 แบบ จึงได้ 1/2
• Permutation ใช้เมื่อ 'ลำาดับมีความสําคัญ เช่น ประธาน รองประธาน อันดับที่ 1-2-3 ส่วน
Combination ใช้เมื่อ 'ลำาดับไม่สําคัญ' เช่น เลือกทีม เลือกกลุ่ม
+ โจทย์ที่มีค่าว่า อย่างน้อย มักใช้วิธีคิดแบบตรงข้ามได้ เช่น อย่างน้อยหนึ่ง = 1 - ไม่มีเลย
โจทย์ฝึกทําเอง
1 ทอยลูกเต๋า โอกาสออกเลขคี่
2 หยิบไพ่เลข 1-10 โอกาสได้เลขมากกว่า 7
3 เรียงคน 3 คนจาก 5 คน ใช้ P หรือ C
4
เลือกทีม 3 คนจาก 6 คน ใช้ P หรือ C
5 ค่าบวณ SP2
6 ค่าบวณ 603
ขีดไฮไลท์: จุดที่ต้องจำ
P(E)=จํานวนที่ต้องการ/จํานวนทั้งหมด
nPr = n!/(n-r)!
ncr = n!/[r!(n-r)!]
เรียง = P, เลือกกลุ่ม = C
7 โยนเหรียญ 1 เหรียญ โอกาสออก ง
8 ทอยลูกเต๋า โอกาสออก 6
9 7C2 เท่ากับ
10 4P2 เท่ากับ
11 เลือก 2 จาก 8 แบบไม่สนลำาดับ
ตัวอย่างพร้อมวิธีคิด
เลือกตัวแทน 2 คนจากนักเรียน 5 คน โดยไม่สนตําแหน่ง ทําได้ วิธี
1. เป็นการเลือกกลุ่ม ไม่สนลำาดับ จึงใช้ C
2. 5C2 = 5!(2!3!)
3. = (5×4)/(2×1) = 10 วิธี
12 จัดอันดับ 2 คนจาก 6 คน
เช็กก่อนสอบ
1) อ่านโจทย์แล้ววงคําสําคัญ 2) เลือกสูตรจากกล่องไฮไลท์ 3) ท่าทีละบรรทัด 4) ตรวจหน่วยหรือเงื่อนไขค้า
ตอน
เฉลยสั้น
1) 1/2
2) 3/10
3)P
4) C
5) 20
6) 20
7) 1/2
8) 1/6
9) 21
10) 12
11) 28
12) 30
วิธีใช้หน้า : ทําโจทย์ข้อ 1-6 ก่อนดูเฉลย แล้วท่าข้อ 7-12 อีกครั้งเพื่อวัดว่าจําสูตรได้จริงไหม
ชิกคณิต ม.ปลาย อ่านก่อนสอบ สรุปสูตร + วิธีกาโจทย์ | หน้า 10/12
MATH 12

ページ9:

หน้า 5: เลขยกกำลังและลอการิทึม - จัดรูปให้เร็ว
บทนี้ต้องแม่นสูตร เพราะใช้ต่อในฟังก์ชัน ลำาดับ และแคลคูลัส
อธิบายให้เข้าใจง่าย
• เลขยกกําลังใช้กฎได้เมื่อฐานเหมือนกัน เช่น 23x2 = 27 แต่ 23x34 รวมเลขชี้กำลังไม่ได้
• เลขชี้กําลังติดลบหมายถึงกลับเป็นส่วนกลับ เช่น a
= VX
โจทย์ฝึกทําเอง
= 1/a' และเลขชี้กำาลังเศษส่วนคือราก เช่น X
1 2x2 เท่ากับ
2 5/5 เท่ากับ
3 (x ) เท่ากับ
• ลอการิทึมคือการถามว่า ฐานต้องยกกําลังเท่าไรจึงได้ค่านั้น เช่น log 8 = 3 เพราะ 23=8
4 log 32 เท่ากับ
5 แก้ 2=64
6 log 81 เท่ากับ
ขีดไฮไลท์: จุดที่ต้องจำ
aman = amtn
am/an = amon
logab = c แปลว่า as = b
log.(MN)=log.M+log_N
7
10° เท่ากับ
8 23 เท่ากับ
9 √X เขียนเป็นเลขชี้กำลัง
10 log 25 เท่ากับ
ตัวอย่างพร้อมวิธีคิด
แก้สมการ 3× = 81
1. เปลี่ยน 81 ให้อยู่ฐาน 3
2. 81 = 34
3. ดังนั้น 3× = 34 กําให้ x = 4
█เช็กก่อนสอบ
1) อ่านโจทย์แล้ววงคําสําคัญ 2) เลือกสูตรจากกล่องไฮไลท์ 3) ทําทีละบรรทัด 4) ตรวจหน่วยหรือเงื่อนไขค่า
ตอบ
11 แก้ 5=125
12 log 100 เท่ากับ
เฉลยสั่น
1) 2′=256
3)x
2) 5+=625
4)5
5) x=6
7) 1
9)x'
11) x=3
6) 4
8) 1/8
10) 2
12) 2
วิธีใช้หน้า : ทําโจทย์ข้อ 1-6 ก่อบดูเฉลย แล้วท้ายอ 7-12 อีกครั้งเพื่อวัดว่าจําสูตรได้จริงไหม
ชีทคณิต ม.ปลาย อ่านก่อนสอบ | สรุปสูตร + วิธีกาโจทย์ | หน้า 5/12
MATH 12

ページ10:

หน้า 11: สถิติ - ค่ากลางและการกระจาย
สถิติผิดง่ายเพราะไม่เรียงข้อมูลและรวมค่าเฉลี่ยผิดวิธี
อธิบายให้เข้าใจง่าย
• ค่าเฉลี่ยคือผลรวมข้อมูลหารด้วยจํานวนข้อมูล ใช้ดูค่ากลางแบบทั่วไป แต่ไวต่อค่าสุดโด่ง เช่น คะแนน
1,1,1,20 จะทําให้ค่าเฉลี่ยสูงเกินภาพจริง
• มัธยฐานคือค่ากลางหลังเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ถ้าข้อมูลเป็นจํานวนคู่ ให้เฉลี่ยสองค่ากลาง
• ฐานนิยมคือค่าที่ช้ามากที่สุด ส่วนพิสัยคือค่าสูงสุดลบค่าต่ำสุด ใช้ดูการกระจายแบบง่าย
โจทย์ฝึกทําเอง
1 หาเฉลี่ยของ 5,7,8,10
2
หา median ของ 3,5,7,9,10
3
หา median ของ 3,5,7,9
4
หา mode ยอง 2,3,3,4,5
5
หาพิสัยของ 4,7,10,12
ขีดไฮไลท์: จุดที่ต้องจำ
ค่าเฉลี่ย x=Zx/n
มัธยฐานต้องเรียงข้อมูลก่อน
ฐานนิยม = ค่าท ามากที่สุด
พิสัย = ค่าสูงสุด - ค่าต่ำสุด
6 ค่าเฉลี่ยของ 6,6,9 คือ
7 ข้อมูล 1,2,3 ค่าเฉลี่ย
8 ข้อมูล 1,9,9,10 mode
9
พิสัย 2,5,11
ตัวอย่างพร้อมวิธีคิด
ข้อมูล 4, 7, 7, 9, 12 จงหาค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม
1. ค่าเฉลี่ย = (4+7+7+9+12)/5 = 39/5 = 7.8
2. ข้อมูลเรียงแล้ว ค่ากลางคือ 7 ดังนั้นมัธยฐาน = 7
3. ค่าที่ช้ามากที่สุดคือ 7 ดังนั้นฐานนิยม = 7
=
10 median ของ 10.2.8
11 ค่าเฉลี่ย 4,4,4,8
12 ข้อมูลไม่มีค่า า มี mode ใหม
เช็กก่อนสอบ
1) อ่านโจทย์แล้ววงคําสําคัญ 2) เลือกสูตรจากกล่องไฮไลท์ 3) ทําทีละบรรทัด 4) ตรวจหน่วยหรือเงื่อนไขค้า
ตอบ
เฉลยสั่น
1) 7.5
3)6
2)7
4)3
5) 8
6) 7
7) 2
8) 9
9)9
10) 8
11) 5
12) ไม่มี
MATH 12
วิธีใช้หน้านี้: ท่าโจทย์ข้อ 1-6 ก่อนดูเฉลย แล้วก้าข้อ 7-12 ชาอีกครั้งเพื่อวัดว่าจําสูตรได้จริงไหม
ชีทคณิต ม.ปลาย อ่านก่อนสอบ สรุปสูตร + วิธีกาโจทย์ | หน้า 11/12

ページ11:

หน้า 12: แคลคูลัสพื้นฐาน + แบบทดสอบรวม
เน้นลิมิตและอนุพันธ์ ซึ่งเป็นพื้นฐานที่ออกสอบบ่อย
อธิบายให้เข้าใจง่าย
+ ลิมิตคือการดูว่าค่าของฟังก์ชันเข้าใกล้อะไร เมื่อ x เข้าใกล้ค่าหนึ่ง ถ้าแทนค่าแล้วไม่ติดปัญหา ให้แทน
ตรงได้เลย
+ถ้าแทนค่าแล้วได้ 0/0 ต้องจัดรูปก่อน เช่น แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวร่วม จากนั้นจึงแทนค่าอีกครึ่ง
• อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงหรือความชันของกราฟ สูตรพื้นฐานที่สุดคือ ถ้า y=xn จะได้
y'=nxn-1
โจทย์ฝึกทําเอง
1 lim.+3(x+5)
2 หาอนุพันธ์ yx
3 หาอนุพันธ์ y=5x
4 หาอนุพันธ์ y=3x +5x-4
5 lim,-1 (x-1)/(x-1)
6 โจทย์รวม: ถ้า f(x)=2x+1 หา f(3)
| ขีดไฮไลท์: จุดที่ต้องจำ
lim เมื่อแทนตรงได้ ให้แทนเลย
ถ้าได้ 0/0 ให้แยกตัวประกอบ/ตัดร่วมก่อน
d/dx(x)=nxn-1
ค่าคงที่มีอนุพันธ์เป็น 0
7 lim,-0 (x+1)
8 d/dx(7)
9 d/dx(2x)
ตัวอย่างพร้อมวิธีคิด
หา limx→2 (x^-4)/(x-2)
1. แทน X=2 แล้วใด้ 0/0 จึงต้องจัดรูป
2. x-4 = (x-2)(x+2)
3. ตัด (x-2) เหลือ x+2
4. แทน x=2 ได้ 4
เช็กก่อนสอบ
1) อ่านโจทย์แล้ววงคําสําคัญ 2) เลือกสูตรจากกล่องไฮไลท์ 3) ท่าทีละบรรทัด 4) ตรวจหน่วยหรือเงื่อนไขค่า
ตอบ
10 d/dx(x³)
11 lim,→2 (x²-4)/(x-2)
12 d/dx(4x²-x+1)
| เฉลยสั้น
1) 8
3) 20x³
5)2
7) 1
9) 6x2
11) 4
2)3x²
4) 6x+5
6)7
8) 0
10) 5x4
12) 8x-1
MATH 12
วิธีใช้หน้า : ก้าโจทย์ข้อ 1-6 ก่อนดูเฉลย แล้วถ้าข้อ 7-12 ซ้ำอีกครั้งเพื่อวัดว่าจ่าสูตรได้จริงไหม
ชิกคณิต ม.ปลาย อ่านก่อนสอบ สรุปสูตร + วิธีกาโจทย์ | หน้า 12/12

ページ12:

หน้า 8: เวกเตอร์ - ขนาด ทิศทาง และดอตโปรดักต์
เวกเตอร์คิดเป็นแกน x,y อย่าคิดเป็นตัวเลขเดี่ยว
อธิบายให้เข้าใจง่าย
• เวกเตอร์คือปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรง ความเร็ว การกระจัด ในระนาบเขียนเป็น (a,b)
• การหาเวกเตอร์จากจุด A ไป B ให้ใช้ปลายลบต้น คือ AB = (X2-X1, X2-y1)
• ดอตโปรดักต์ใช้ตรวจความตั้งฉาก ถ้า นะV = 0 แปลว่าเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกัน
โจทย์ฝึกทําเอง
1 หา (6.8)|
2 A(1,2), B(4,6) หา AB
3
(2,3)+(4,1) เท่ากัน
4
(5,2)-(1,7) เท่ากับ
5 u=(2,3), v=(3,-2) หา บ·V
ขีดไฮไลท์: จุดที่ต้องจำ
|(a,b)| = √(a²+b²)
AB = B-A
u·v = a,a, + b,b,
ถ้า น·v=0 แปลว่าตี๋จจาก
6 ถา น·v=0 สรุปอะไร
7 หา (5,12)|
8
A(0,0),B(2,-3) หา AB
9 u=(1,2),v=(4.5) หา น·v
10 เกเตอร์ศูนย์คืออะไร
11 (3,-1)+(2,6)
ตัวอย่างพร้อมวิธีคิด
ให้ น=(3,4) จงหาขนาดของ น
1. ใช้สูตร |u| = √(a+b)
2. Ju] = √(3²+4²)
3. = V25 = 5
12 ถ้า AB=(4.1) และ A=(2,3) หา B
| เช็กก่อนสอบ
1) อ่านโจทย์แล้ววงคําสําคัญ 2) เลือกสูตรจากกล่องไฮไลท์ 3) ท่าทีละบรรทัด 4) ตรวจหน่วยหรือเงื่อนไขค่า
ตอบ
เฉลยสั้น
1) 10
3) (6,4)
5) 0
2) (3,4)
4) (4,-5)
6) ตั้งจาก
7) 13
8) (2,-3)
9) 14
10) (0,0)
11) (5,5)
12) (6,4)
MATH 12
วิธีใช้หน้านี้: ก๋าโจทย์ข้อ 1-6 ก่อนดูเฉลย แล้วท่าข้อ 7-12 ซ้ำอีกครั้งเพื่อวัดว่าจําสูตรได้จริงไหม
ชิกคณิต ม.ปลาย อ่านก่อนสอบ สรุปสูตร + วิธีกาโจทย์ | หน้า 8/12