ページ3:

4.
次の式をくふうして計算しなさい。 ただし, くふうしたことがわかるように
途中式を書くこと。 〔3点×4〕
(1) 992
5. 次の(1),(2)の問いに答えなさい。
(2)772-232
(1) x=38, y=19 のとき, x2-4y2の値を求めなさい。
(2)
5
a=一のとき,(a+1)2-a(a +6) の値を求めなさい。
4

ページ4:

6. 太郎さんと花子さんは,数学の授業で出された次の課題について
話しています。
《課題》 連続する3つの整数について,もっとも大きい数の2乗から
もっとも小さい数の2乗をひいた差は、真ん中の数の4倍に
なる。このことを証明しなさい。
太郎:具体的な数, たとえば 12, 13, 14 のときはもっとも大きい数
の2乗からもっとも小さい数の2乗をひくと(ア)になるね。
花子:そうね。 じゃあ、真ん中の数を文字を使ってn とすると, 連続
する3つの整数のもっとも大きい数は(イ),もっとも小さい
数は(ウ)って表せるよ。
太郎:ほんとだ。 ぢゃあそれらの式を使って差を求めてみればよさげだね。
(1) 2人の会話のア~ウにあてはまる適切な数, または式を答えなさい。
(2)2人の会話を参考にして, 《課題》を証明しなさい。

ページ5:

7. 横が縦より2mだけ長い長方形の土地A があります。 土地Aの
縦を1m長くし, 横を1m短くした正方形の土地 Bをつくるとき,
面積が大きいのは土地Aと土地 B のどちらですか。 また, 何m²大
きいですか。 文字を使って説明しなさい。(※画像はイメージです)
土地 A
土地 B
8. 下の図のように,縦がxm,横がymの長方形の形をした花壇
に沿った幅amの道があります。この道の面積をSm2, 道の真ん
中を通る線の長さを lm とすると, S = al となります。 このことを証
明しなさい。
ym
am
xm
花壇
道
am
lm

ページ6:

9. 図のように,自然数を規則的に並べたものがあり,図の中の
のような4つの数の組について, a, b, c, dを
la bi
1 2 3 4 56
I
IC
di
のようにして考える。
I
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
(1) a=8 のとき, ad-bc の値
を求めなさい。
(2) ad-bc の値がつねに(1)の値
となることを証明しなさい。
10. 2つの自然数m, n がある。を7でわると商がα, あまりが3
であり, nを7でわると商がb, あまりが5である。この2つの自然数
の積mnを7でわったときのあまりを求めなさい。
■問題は以上です

ページ7:

ア
展開
(1)
イ
ウ
因数
(2)
-3.x2-6xy +21x
15a-25b
因数分解
(3)
2.x2-3xy-7x +12y-4
H
a+b
2 (4)
x2-6x+9
オ
ab
(5)
64x2
カ
2a
(6)
4x2+28x-15
キ
a²
(7)
a² +2ab+b² - 64
a²
(8)
1
64
4
9x-49
(7)くふうして展開
(a+b)2-82
= a² +2ab +62-64
(8)それぞれ展開
(9x2-49)-9x2+9x
=9x-49
ク
2
ケ
4
コ
サ
シ

ページ8:

(1)
4a(3a+2b-2)
(2)
(x-5)(x+9)
(1)
(3)
(y+3)(y-10)
4
(4)
(x-9)²
99² = (100-1)²
=1002-2×100×1+1²
= 10000 200+1
=9801
772-232
= (77+23)(77-23)
(5)
(1+a)(1-a)
(2)
= 100×54
(6)
(y-6)²
13
(7)
y(x+6)(x-6)
(8)
(x-3y)(x+7y)
(9)
(x+4)(x-12)
LO
00
(10)
(5x-4y)²
難
(11)
(b-3)(a+2)
難
##
5
(12)
(2y-3)(x+1)
難
=
-4×·
+1= −4
4
=5400
x²-4y²
=(x+2y)(x-2y)
(1) = (38+2×19) (38-2×19)
(38+2×19)(38-2×19)
2
= 76×0
= 0
(a+1)² -a(a+6)
= a²+2a+1-a² -6a
=
= −4a+1
2
(10) (5x)² -2×5xx4y+(4y)² (11) a(b−3)+2(b−3)
(12) (2y-3)x+(2y-3)

ページ9:

ア
52
【証明】
いちばん大きい長方形の面積
(1)イ
n+1
(a+x)(a+y)
= a² +(x+y)a + xy
…①
ウ
n-1
花壇の面積
xxy=xy
②
もっとも大きい数の2乗から
6もっとも小さい数の2乗をひくと
(2)
(n+1)^-(n-1)2
=(n²+2n+1)-(n² -2n+1)
=4n
よって道の面積は①-②より
S = a² +(x+y)a
1
8
一方,道の真ん中を通る線は
これは真ん中の数の4倍を示
している。
e=(x+1/2)+(x+2/23)
=a+(x+y)
両辺にαをかけて
al = a2+(x+y)a
したがって,
....
・(略)･･･
問題文をうつす
①と②の右辺が等しいから
左辺も等しいので
【説明】
S = al
l
土地 Aの縦をxm とすると
横は(x+2)m と表される。
土地Aの面積は
xx(x+2) = x2 + 2.x
土地Bの面積は
7 (x+1)^ = x2 + 2x + 1
土地Bの面積から土地 A の
面積をひくと
(x2 + 2.x +1)-(x2 + 2x) =1
よって, 土地 Bの面積のほうが
1m2だけ大きい。
それぞれの土地の面積を式で
表してひき算する
※超定番証明問題
-S
y
X
a
|4|2
a
4-2

ページ10:

19
(1) α = 8 のとき
b=9,c=14, d=15
よって
ad + bc = 8×15-9×14
=-6
(2) a=n (nは自然数)とすると
b=n+1,c=n+6,
d=n+7
と表されるので
ad-bc
=n(n+7)-(n+1)(n+6)
=(n²+7n)-(n² +7n+6)
=-6
割られる数=割る数 × 商 + あまり┐
m=7a+3, n=7b+5
と表されるので
mn
=(7a+3)(7b+5)
= 49ab +35a + 216 + 15
|10|
= (49ab +35a + 216 + 14) + 1
↓7でくくり出し
= 7(7ab + 5a + 36 + 2) + 1
7の倍数
よって、 あまりは 1
したがって, ad-bc の値は
つねに-6である。