【ベクトル】R.7 6月進研共通テスト模試【高3】

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

高校全学年

▷ 過去問自学

2026.06.04 公開

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ノートテキスト

ページ1:

数学Ⅱ, 数学B 数学C
第6問 (選択問題) (配点 16) 自学 (9)
1
平面上に OA = 1, OB = √2, cos/AOB =
である△ OAB
2√2
がある。 辺 AB を 12に内分する点をPとする。
ア
OA. OB
イ
である。また, OP を OA, OBを用いて表すと
ウ
オ
OP
-OA +
OB
I
である。
次に, 直線 OP に関して, 点Aと対称な点をQとする。 線分AQ と
直線 OP の交点をH とすると, 点 Hは線分AQ の中点であるから
OQ = OA+
キ
AH
である。これを用いてOQをOA, OB を用いて表そう。
点Hは直線 OP 上にあるから, 実数kを用いて OH = kOP と表され
る。これより
ク
サ
AH=
k
コ |OA+
kOB
ケ
シ
である。
(数学Ⅱ, 数学B, 数学 C 大問6は次ページに続く。)

ページ2:

セソ
また, ス が成り立つから,k=
である。
タチ
ツ
ト
よって 0Q
OQ
||
-OA +
OB
テ
ナ
である。 さらに, 直線 OQ と直線 AB の交点を R とすると
OR =
PR
であり,
AB
である。
||
ネ
-OA +
OB
ヌ
ノ
ヒフ
ス の解答群
O OA LAQ
②PQ+0Q
① AH ⊥QH
③ OP ⊥ AH

ページ3:

2025年度6月 進研共通テスト高3模試@自学 Akagi
第6問 【ベクトル】
内積の定義により
OA・OB = |OA|| OB | cos ∠AOB=1x√2 x
内分点の位置ベクトルの公式により
1
20A + 10B
2
OP
=
=
1+2
3
OA + - OB
3
AQ = 2AH より
OA + 2 AH
OQ = OA + AQ = O
共線条件より
2
OH = kOP
P = 1½ 1
kOA + - kOB
3
これと始点の統一により
2
1
2
-~
1
2√2
=
1
H
A
AH-OH-OA-34-10A+1kOB
= =
|2
B
(2)

ページ4:

つづき
▲ 点 A と OP に関して対称な点がQ だから OP ⊥ AH
ベクトルの垂直条件(内積の値が 0 ) により
1
OA + - OB
3
3
-1)0
1
k-1 OA + -kOB
= 0
3
内積を計算して整理すると
4
2
・k OAP +
4
1
k
3
3
2
1
1
1
-k
|x12 +
k
×
3
3
OA・OB +-k|OB
+-kx(√2)²=0
2 9
k|OB=0
15
∴.k =
16
2 15
1 15
3
5
よってAH=
-1 OA+
-.
OB
OA+OB
OBより
3 16
3 16
8
16
5
OQ
= = OA + 2AH =
OA+ OB
4
8

ページ5:

さらにつづき
OQ と AB の交点をR とすると
O, Q, R は一直線上にあるからOR=tOQと表せるので
OR
=
5
-tOA + - tOB
………①
4
8
点Rは直線AB上にあるので, 係数和1の法則により
8
∴t
②
7
1 5
-t+-t=1
4 8
②①に代入して OR = =0A+OB
7
5
(OA+ OB)-(OA+OB
> PR = OR-OP:
8
21
8
7
8
·OA+ OB
21
3
3
始点の統一の逆
=
PR
よって
AB
AB
|28|2|