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数学Ⅱ, 数学B 数学C 第6問 (選択問題) (配点 16) 自学 (9) 1 平面上に OA = 1, OB = √2, cos/AOB = である△ OAB 2√2 がある。 辺 AB を 12に内分する点をPとする。 ア OA. OB イ である。また, OP を OA, OBを用いて表すと ウ オ OP -OA + OB I である。 次に, 直線 OP に関して, 点Aと対称な点をQとする。 線分AQ と 直線 OP の交点をH とすると, 点 Hは線分AQ の中点であるから OQ = OA+ キ AH である。これを用いてOQをOA, OB を用いて表そう。 点Hは直線 OP 上にあるから, 実数kを用いて OH = kOP と表され る。これより ク サ AH= k コ |OA+ kOB ケ シ である。 (数学Ⅱ, 数学B, 数学 C 大問6は次ページに続く。)
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セソ また, ス が成り立つから,k= である。 タチ ツ ト よって 0Q OQ || -OA + OB テ ナ である。 さらに, 直線 OQ と直線 AB の交点を R とすると OR = PR であり, AB である。 || ネ -OA + OB ヌ ノ ヒフ ス の解答群 O OA LAQ ②PQ+0Q ① AH ⊥QH ③ OP ⊥ AH
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2025年度6月 進研共通テスト高3模試@自学 Akagi 第6問 【ベクトル】 内積の定義により OA・OB = |OA|| OB | cos ∠AOB=1x√2 x 内分点の位置ベクトルの公式により 1 20A + 10B 2 OP = = 1+2 3 OA + - OB 3 AQ = 2AH より OA + 2 AH OQ = OA + AQ = O 共線条件より 2 OH = kOP P = 1½ 1 kOA + - kOB 3 これと始点の統一により 2 1 2 -~ 1 2√2 = 1 H A AH-OH-OA-34-10A+1kOB = = |2 B (2)
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つづき ▲ 点 A と OP に関して対称な点がQ だから OP ⊥ AH ベクトルの垂直条件(内積の値が 0 ) により 1 OA + - OB 3 3 -1)0 1 k-1 OA + -kOB = 0 3 内積を計算して整理すると 4 2 ・k OAP + 4 1 k 3 3 2 1 1 1 -k |x12 + k × 3 3 OA・OB +-k|OB +-kx(√2)²=0 2 9 k|OB=0 15 ∴.k = 16 2 15 1 15 3 5 よってAH= -1 OA+ -. OB OA+OB OBより 3 16 3 16 8 16 5 OQ = = OA + 2AH = OA+ OB 4 8
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さらにつづき OQ と AB の交点をR とすると O, Q, R は一直線上にあるからOR=tOQと表せるので OR = 5 -tOA + - tOB ………① 4 8 点Rは直線AB上にあるので, 係数和1の法則により 8 ∴t ② 7 1 5 -t+-t=1 4 8 ②①に代入して OR = =0A+OB 7 5 (OA+ OB)-(OA+OB > PR = OR-OP: 8 21 8 7 8 ·OA+ OB 21 3 3 始点の統一の逆 = PR よって AB AB |28|2|
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