ページ3:

พัสดุน
Ma
การฟ้องน์ ประพจน์เดี่ยว 3 x 4 U, Fy & W, P(x,y)
๒๕๑๖ ให้ได้ว่า มีสมาชิก อย่างน้อย 1 ใน 1 แล้ว
ใน 3 เป็น ๆ 0 447 44 พ ง (49) เป็นจริง
เป็นสมาชิก ใน ทาง า
ท
c. y.
จร พิสูจน์ว่า สำหรับบาง จำนวนเต็ม ๆ ซึ่งทุก ๆ ท่านอนเร็ว X จะได้ x - x - x
มีงานใน เพิ่ม 1 - 2
ซึ่งทำให้
สั่งรับทุก จำนวนจริง X จะได้ว่า
"
(n 2
พง
ดังนั้น
4 ] x
-4x
= 0
= 0
n x - 3x = x
จึงสรุปได้ว่า สำหรับบางต้นวนเต็มท
แนวคิด
ประพจน์ ห้องพ
En eZ, VxER, n²x-3x
เจอ 11 พจน์ที่เป็นสมการ
ให้วิเคราะ สมการก่อน
n²x-3x=x
n²x-4x = 0
( n^- 4) X = 0
(n-2)(n+2) x = 0.
ซึ่งทุก ๆ จำนวนจริง x จะได้ว่า 1% -3% * * ปี สมณะนี้จะเป็น 0 เมื่อ n = 12
อันนี้เป็นต่อว่า กา 3 ชั้นก่อน มันจะไม่
การพิสูจน์ ประพงศ์เลี้ยง 3x 6 0 19 4 N, P (x,y)
แสดง 1 ปี สมาชิก 1 ตัว ใน 1 และ 1 ใน W
M7
ซึ่งทำใน ประพจน์ p Co.,b) เป็นจริง จึงสรุปได้
peal?
=
✗
x & R
แต่เมื่อ n≠ +1 สมการจะเป็นจริง
เมื่อ X = G
ๆ
จอ พิสูจน์ว่า สำหรับบาง จำนวนอตรรกยะ X จะมีจำนวนจริง ๆ ซึ่งทำให้ได้ว่า x 3 = 3
พิสูจน์
เนื่องจากมีจำนวนอตรรกยะ X = 12
และมีจำนวนจริง ๆ : ๆ ซึ่งทำใน
x² + Y
=
(2)
2
y
+ 1
= 1
= 2 + 1 = 3
ง
จึงสรุปได้ว่า สำหรับ บาง จำนวนอตรรกยะ X จะมีจำนวน จริง ๆ
แนวคิด
ประพจน์ที่ต้องการพิสูน
Fx € Q₁ ³ y € R, x² + y = 3
ซึ่งทำให้ได้ว่า X+ 3 = 3

ページ4:

การต้องประพจน์ มีเงื่อนไข (ถ้าแล้ว)
กามสูจน์แบบชัด ( Trivial)
VX EU, pcx? → of (8)
ถ้าพิสูจน์ได้ว่า ประพจน์ 4 (0) ตัวแล้ง" เป็นจริง ทุกๆ จะได้ว่า ประพจน์นั้นเป็นจริงเสมอ
2
X
จงพิสูจน์ว่า ส่วนรับจำนวนจริง x ใด ๆ ว่า 0 4 x 4 1 แล้ว x 2 20
1
พิสูจน์ (แบบชัด ) ใน x เป็นจำนวนจริงใด ๆ
2
แส
ดังนั้น x > 0
ซึ่งทำให้ x-42 > 0 42
(สั่ง 2 มันมากกว่า 0 )
จะได้ว่า
x-42 > 0
จึงสรุปได้ว่า สำหรับจำนวนจริง x ใดๆ
ก 0 4 x < 1 แล้ว x^+ 2 >
แนวคิด
ประพจน์ที่ต้องพิสูจน์ คือ
VxER, OCX<1>x²+270
ประพงศ์ 8° +2 >0
เป็นจริง 10 A4 F แล้ว
จงพิสูจน์ว่า ไม่ว่า ณ เป็นจำนวนจริงใด ๆ ๆ 0 4 0 แล้ว ( 0 - 10,246
พิสูจน์ (แบบ กา
ให้ 0 เป็นจำนวนจริงใดๆ
น
ดังนั้น D - 2 0
ซึ่งท่าน ( C-17 20
(0 - 1714 2 2 0
08 (α-172 +2 ±0.
a
สก
ประพจน์ที่ต้องการพิสูจน์ คือ
Va ER, a<oca-17²+2+0
1
* 6 - 17 งไงก็
มากกว่า 0 0 6 ว
อยู่แล้ว
จึงสรุปได้ว่า ไม่ว่า 0 เป็นจำนวนจริงใดๆ ค้า 0 - 0 แล้ว (4 - 1 +2 + 0
0

ページ5:

H ( x ) q (x)
- การพิสูจน์แบบร่างของประพจน์ ( Vac M05 ) x 6 U, P9 - 4 )
2) เป็นเท็จแน่นอน ทำให้ประมานนั้น เป็นจริงเสมอ
T
FT
F→ F
T
ต้องให้ X เช่น วางใดๆ ใน 1 แสดงให้ได้ว่า pcs T
บทนิยาม 1.3.3
ให้ X. เป็นจำนวนจริงใดๆ ค่าสัมบูรณ์ ของ * เขียน แทนด้วย 1x1 คือ จำนวนจริงที่กาหนดโดย
X 1200 x≥0
จงพิสูจน์ว่า คนรับแต่ละจำนวนเต็ม ๆ จะได้ว่าถ้า ไท 1 4 6 แล้ว 150
.n
พิสูจน์ (แบบว่าง 2 ใน n เป็นจำนวนเต็มใดๆ
โดยบทนิยาม 1.3.3 จะได้ว่า In 1 2 0
จึงได้ว่า ไท 1 2 0 ดาด 212433 เป็นเท็จ
จัง สรุปได้ว่า สนรับแต่ละจำนวนเต็ม ๆ จะได้ว่า ถึง 140 แล้ว ท
>
แนวคิด
ประพจน์ที่ 6 การ จน คือ
Unez, Inson³ >0
ต้องเเสดงว่า
[ Pcx)]
[a (x)] [P(x) q(x)]
Pen: Inlog(n): n³>0 pcm (4)|
F
T
F
T
กา
จงพจน์ว่า สำหรับแต่ละ จำนวนเกม ๆ โดยที่ 1 2 5 0 1 1 + 2 4 5 66ตัว 41 + + 4 15
ประพจน์ที่ต้องการพังงา คือ Un EZ" - {1,2}, 2n+2 <5-7 41² + 4 <25
พจน์ (แบบว่าว่า ใน 1 เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ 123
be
6
จะได้ว่า 21 2 2037
24+226 +2 7. b.
n
นั่นคือ 101 > 6
2n+e
6
033
ท
172
ดังนั้น 10 4 1 4 5 มีค่าความจริงเป็นเท็จ
n
20
จึงสรุปได้ว่า ตั้งรับ แต่ละจำนวนเต็ม 1 โดยที่ 1 2 3 ถ้า 1 2 3 และ 4 + +
1

ページ6:

5.3 การพิสูจน์ โดยทรงของประพจน์ VX & U, pcx) - 48
กรณีที่ทำให้ ประมง ถ้า - แล้ว เป็นจริง มี 3 กระ
pex?
T
- q(x).
T
ซึ่งถ้าข้างหน้า เป็นเท็จ เช่น UA CL 0 5 0 6 ล้ว
TT
เลย 0 0 0 1 0 5 4 ที่ต้องพิสูจน์ได้ คือ 1 - 1 = 1
→→
# pc 7 9 4
P(x) เรียกว่า สัมมาฐาน 40% ) เรียกว่า 44, ขอสรุป
วิธีพงษ์ ใน X เป็นสมาชิกใดๆ ใน U สมมติ ? (8) : T แสดงในได้ว่า ๆ (*) เป็นจริง
ขอพิสูจน์ว่า ถ้าจำนวนเต็ม X หารด้วย 4 ลงตัวแล้ว จำนวนเต็ม ๆ เป็นจำนว
พิน (( ตรง) ใช้ x เป็นจำนวนเต็มใดๆ
โดยบทนิยาม 1.1.1 จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม พ
จะได้ว่า
เ
ซึ่ง X = 6m
K 203m)
มีจำนวน 3 ท ซึ่ง X=2C5m]
เป็นจำนวน
โดยบทนิยาม 1.4.23 จะได้ว่า x เป็นจำนวน
ส่ว
ถ้าจำนวนเต็ม X หารด้วย 4 ลงตงแล้ว จำนวนเต็ม ๆ เป็นจำนวน
แนวคิด
ประพจน์ ที่ต้อง การพิสูจน์คว
/x → เป็นจำนวนก
V x & 2, b
x ไหน ที่ 6 x ก็เป็นเท็จไป
บทนิยาม 1.4.1
ใช้ a และ b เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ชัง_At0
alb
b
- มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่ง
= am โดย 6 เรียกว่า มนุษ
10 9 0 และเรียก 4 ว่า หาร 1056
บทนิยาม 1.4.3
- เป็นจน ๆ - มีน เต็มทรง
2. เป็นคนดี - มีจน เต็ม ๆ ซึ่ง
= 27
a=2n+1
ใช้ X,9 และ 2 เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งพิสูจน์ว่า ก x 19 แล้ว x 192
ประพจน์ที่ต้องพิสูจน์ คือ x,y,z 8 21 x 19 - xyz
สูง (โดยตรง) ใน x 9.2 เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ผู้สูง
สมมติ 4 15 3 สร ดาว
โดยบทพยาม 1.4.1 จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม C (กนกมาเอง) ชื่อทาให้ ๆ = 46
ท
9 = × c
พิจารณา
y = X C
(99629)
จะได้ว่า
Jz = xcz
มีจำนวนเต็ม CZ
Cz
ซึ่งทำใน 2
yz
x(cz )
อ้าว บทนิยามรอบ
6630778บากได้
gxe.
โดยบทนิยาม 1.4.1 จะได้ x | yz
oxy bad xlyz
☐
อ้างบทยาวรอบของ
เพราะอยากได้
yz = xcz

ページ7:

สำหรับทุกจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ X และทุกจำนวนจริง 3
จานว่า ถ้า X 9 เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว ๆ เป็นจำนวนตรรกยะ เช่นกัน
xy
.y
ประพจน์ที่ท้อง ดังนี้ คือ x = 0 - 40 Wye R
,xy
เป็นจำนวนตรรกยะ
→>>
3. เป็นจำนวนราย
ที่สิงห์ (โดยตรง) ใช้ x เป็นจำนวนตรรกยะใดที่ไม่เป็นศูนย์
และ งูเป็นจำานวนจริงใดๆ
สัมม จํานวนตรรกยะ
.xy
โดยบทนิยาม 1.5.1 จะได้ว่า จำนวนเต็ม
-ag b
โดยที่ .b.to.
ห้อง จาก X 4 0 ทำให้
Jom q w x y = a
y.
=
b
a
x.b
คนเราอยากได้ 3 ที่อยู่ใน
ง
บทนิยาม 1.5.1
จำนวนจริง n เป็นจำนวน
mssee Crational number
ก็ต่อเมื่อ มีที่นอนเต็ม 0 และ
6 โดยที่ 50 ซึ่ง r = &
b
จํานวนจริงที่ไม่ใช้จำนวน
ตรรกยะว่า จำนวนอตรรกยะ
Cirrational number)
ในรูป เลยต้องเปลี่ยน X (0) ให้กลายเป็น Z ก่อน
เนื่องจาก x เป็นจำนวนตรรกยะ โดยบทนิยาม 1.5.1 จะได้ว่า
มีจำนวนเต็ม พ และ ท
โดยที่ n 40 งาน
เนื่องจาก x + 0 ดังนั้น mn to
X=n
n
.x.b
X = m
y =
d
em
n
แทนในสมการ y = 0 จะได้ว่า
นา * * * ** " "
ดังนั้น มีจำนวนเต็ม đn และ en
en โดยที่ ens 0 ซึ่งทำให้
on
โดยบทนิยาม 1.5.1 จะได้ว่า 3 เป็นจำนวนตรรกยะ
em
dn
y -
em
จึงสรุปได้ว่า หรับทุกจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ X และทุกจานวน 13 9
ถ้า XJ เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว ๆ เป็นจำนวนตรรกยะ เช่นกัน
y

ページ8:

* การพิสูจน์โดยตรง ทำได้ยาก ใช้ 2 วิธีต่อไปนี้
6.4.1 การพิสูจน์ โดยแข็ง สลับที่ของประพจน์ x 6 0 7 7 - 9
4 การงบ
pq. ~q ~p
.~q~>~p
E
กับพัง ประพงศ์นี้ไม่ได้
ก็พลังประหงนั้นี้แทนพ
~cq?
วิธีพสูง ใน 4 เป็น สมาชิกใดๆ ปี ใน สมมติ ประพจน์ (9) เป็นจริง แสดงให้ได้ว่า
จงพิสูจน์ว่า สำหรับทุกจำนวนเต็ม 1. สา 4 1 4 - 1 แล้ว 4 เป็นงานอน
Ja ez, + Xa² 1
4
→
0 เป็นจำนวนคู่
สังข์ โดยคราว ใน 4 เป็นจำนวนเต็มไป
a
√224 X α²
โดยบทนิยาม 1. 4.1 จะได้ว่า ทุกจำนวนเต็ม C
ซึ่งทำให้
a²-1 ± 40
สั่งที่เราได้มามันเป็น 6 สมการ ไปต่อไม่ได้
มีจำนวนเต็ม
สั่ง 0-
2
โดยบทงยาม 1.4.3 ดังนั้น ณ เช่น จน..
จึงสรุปได้ว่า
พิสูจน์แล้ว สดับที่ 80, 82, 0 เป็นจำนวนที่
พสูงนี้
Vaez, a b
ให้ ณ เป็นจำนวนเต็มใดๆ
สมมติ ณ เป็นจำนวน
บทนิราม 1.4.1
~107080
ใช้ a และ b เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ง At 0
alb
b
- มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่ง
= on โดย 6 เรียกว่า ม.4
109 0 ละเรียก 4 ว่า นาง ของ
จำนวนเต็ม C ซึ่งทำให้ b + me
หั่นคือไม่รู้งานวันเต็ม 2 ใดเลย ซึ่ง 2 - 06
บทนิยาม 1.4.3
C
27
a=2n+1
ท
-
2. เป็น จนคู่ - มีน เต็มทรง
เป็นหนที่ 2 มีน เค็ม ๆ ซึ่ง
2 +1 -
4 1
โดยบทนิยาม 1.4.3 จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่งทำให้ 0 - 2 1 + 1
จะได้ว่า
AL
a
2
E
= 527 +172
4 n² +44 + 1
=
4 cn² + n) +1
a²-1=4 cn2+n]
141) ซึ่งทั่วไป 0 - 1 =
6 งงมาก ที่จำนวนเต็ม
โดยบทนิยาม 1.4.1 จะได้
4 / 08-1
4 n+n
จึงสรุปได้ว่า สำหรับทุกจำนวนเต็ม 0 ถ้า 4 | 0 - 1 แล้ว 4 เป็นจำนอน 1

ページ9:

ท
n
ให้ n เป็นจำนวนเต็มใด จงพิสูจน์ว่า ถ้า 5 ทฯ เป็นจำนวนคู่แล้ว ท. เป็นจำนวน
ประทานที่ห้อง พอน In e 2, 51-7 เป็นจำนวนคู่ - ท เป็นจำนวนที่
พิสูจน์โดยตรง ให้เป็นเจ้าหนเดิมใดๆ
สัมมา 5 - 7 เป็นเจ้านอนคู่
บทนิยาม 1.4.3
- เป็นจน - 4 มีน เต็มหรือ
A - 21
ณ เป็น1พ.คี่ →→→ มีจน เต็ม ๆ ซึ่ง
โดยบทนิยาม 1.1.3 จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม 1 ซึ่ง 50-75 20
Sn = 2a+ 7
n = 20*7
5
ง
จะได้ว่า n เป็นจำนวนคี่
จะได้ว่า
จํานวนเต็ม
จ้ว สรุปได้ว่า
พิสู4 โดยหนังสลับที่
พิสูจน์ (โดยแข็ง สลับที่ 3
สมมติ n เป็นจำนวนคู่
ท
=
มันไม่ใช้จำนวนเต็ม
=
n = 2
+1
2 1
3
a=2n+1
Un e - - ท เป็นจังหวนคู่ - 51 - 7 เป็นจำนวน
ใน 4 เป็นจำนวนเต็มใด ๆ
n
โดยบๆ พยาม 1.4.3 จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม ท ซึ่งทำให้ 1 -
จะได้ว่า 5n= 2(5)m
n = 2m
5n-7 = 2(5)m-7 = 10m-7 =10m-8 +1 =2(5m-4) +1
=
=
=
เนื่องจาก มีจำนวนเต็ม 5m-4 ซึ่งทั้งงง เท-9 = 1 5m-4 +1
โดยทยาน 1.4.5 จะได้ว่า S1-1 เป็นนวน
ท
จึงสรุปได้ว่า n เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถึง 50-7 เป็นจำนวนคู่ แล้ว n เป็นจำนวน 1

ページ10:

ส่วนรับจำนวนจริง x ใด ๆ จะมีสูงกว่า ดัง x เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้ว 2x44 เป็นจำนวนอตรรกยะ
หรือ 2x 1 เช่น จำนวน อตรรกยะ
ประพจน์ที่ต้องพิสูจน์ ทั้ง Ux & IR,
ข้อความ ๖ ๕๕
A
X6Q+2x+1 เป็นจํานวนอตรรกะ V. 284 เป็นจำนวน ระ
x 8 B, 2x + 1 เป็นจน 0 1 2 - 1 เป็นคน... -
เป็น0.0
พิสูจน์ ( โดยแข็ง สลับทั่ว
ให้ x เป็นจำนวนจริงใดๆ
ง
×
สมมติ 2X+1 และ 2x – 1 เช่น จ้านวนตรรกยะ
โดยบทนิยาม 1.5.1 จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม ๆ และ ๓ โดย
และมีหินเต็ม
m
10
จะได้ว่า 28+1 = n
ม 0 และ
โดยที่ 0 - 0 จะได้ว่า 28-1
R
3
q
พิจารณา
q
บทนิยาม 1.5.1
จำนวนจริง n เป็นจำนวน
mssnee crational number
ก็ต่อเมื่อ มีที่นอนเต็ม 0 และ
6 โดยที่ 50 ซึ่ง 1 - 0
b
จํานวนจริงที่ไม่ใช้จำนวน
ตรรกยะว่า จำนวนอตรรกยะ
Cirrational number)
.2X+1
2x =
ท
= m
-1
2 x = M-n
ท
m-n
20
จํานวนเพิ่ม
m-n
และ บท
2ท
+ 0 ชื่อ
X =
โดยบทนิยาม 1.5.1 จะได้ว่า x เป็นจำนวนตรรกยะ
=
m-m
นท
จึงสรุปได้ว่า ส่วนรับจำนวนจริง x ใด ๆ จงพิสูจน์ว่า ถึง 3 เป็นจำนวน ๑ ตรรกยะ
แล้ว 2X41 เป็นจำนวนอตรรกยะ หรือ 2x 1 เงิน จำนวน อตรรกยะ
250

ページ11:

จงว่า ดี ๆ และ ๆ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง ทท เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง พท เป็นจำนวน
ท
แล้ว อย่างน้อย 1 และ
ประพจน์ที่ต้องการพิสูงุ่น
เป็นจำนวนคู่
Um nez,
บทพยาม 1.4.3
2. เป็นจน - - มีน เต็มหนึ่ง
A = 27
- เป็น1น. - มีน เค็ม ๆ ซึ่ง
a=2n+1
w, 1 8 2, ทท เป็นจำนวน 1 เป็นจำนวน 4 ปี ท เป็นจำนวนคู่
0
Vn,n & Z, M เป็นจำนวนคี่ A nเป็นจำนวนค่ำ
~q>~r =D Hm,n. EZ
12
พิสูจน์ (โดยแข้งสลับทั่ว ให้ 1 และ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ
สมมติ " และ 1 เงินจำนวนคี่
โดยหยาม 1.4.3 จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม
ซึ่ง = 2x +1 และยังนอนเต็ม ๆ ซึ่งท = 29+1
ดังนั้น mn =
=
ง
(2x+1)(24+1)
Axy + 2x + 2y + 1
= 2(2xy+x+y) + 1
จำนวนเต็ม 2X9J+x+
ซึ่ง mn = 2(2xy+x+y) +1
โดยทยาน 1.4.3 จะได้ว่า พ.ท. เป็นจำนวน
ท
wn เป็นจำนวนคี่
จึงสรุปได้ว่า ดี ๆ และ ๆ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง ทท เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง พท. เป็นจำนวน
แล้ว อย่างน้อย 1 และ
เป็นจำนวนคู่
m a 7 b b d z à un vo√88 wars Vx e U , p ( x ) n q ( x ) > r ( x )
A
paq P₁~r~q
ใน X เป็นจำนวนจริง ๆ สูง 1 x * * และ * * * * 2 แล้ว x 20
แนวคิด
ประพจน์ที่ต้องพิสูจน์ คือ
พิสูจน์ (โดยคง ว
+
Wxe 8, x + 0 / X+ + +
5 X <0
ใü x เป็นจำนวนเต็มใดๆ
สัมมา K + 0 และ X + 1 </
x + 1
22
จะได้ว่า X < 0
x
ทำไมน
76

ページ12:

แป้งสลับที่ 9 x 6 R, X 2 0 3 x = 0 4 x 20 - x 4 1 2 1
e
พิสูจน์ (โดยแป้งสลับที่ 3 ใน 4 เป็นจำนวนจริงใดๆ
222 x + 0 6662 X ZO
จะได้ว่า X 7 0
(x-772 2055x175
มากกว่า เท่ากับ 0
เพราะ –1และ
≥ 0
พิจารณา
x²-2x+1
x 1 1 1
X (X + 3)
≥ 2x
≥ zx
เป็นคน จงใดๆ
(x+
17
เพลู ด
ทำจากล้างขึ้นบน
7 * 20
.*+* 2.2
เนื่องจาก 350 - 4 (841) 2 24
X2+1 2 2x
x²-2x+1 20.
เนื่องจาก X7 0 ดังนั้น *** *** **
จะได้ว่า x +1
- 2 22
(x-17230
จึงสรุปได้ว่า ใน X เป็นจำน6 จริง ๆ * * * * * * * 1 - 2 แล้ว x = 0
เขียนเป็นประพจน์เกี่ยว VX & RF *, **
x e + x 2 2
เว็บทุก จำนวนจริง X 66 ละ 3 จงงว่า
ง
ดำ X เป็นจำนวนตรรกยะ และ 3 เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้ว x+y
J เป็นจำนวนอตรรกยะแล้ว x+y เป็นจำนวนอตรรกยะ
#xy & R, X เป็น จน ตรรกยะ - 3 เป็นจน อ พระกะ - 8 +9 เป็นจน อาระยะ
ถ้าพิสูจน์โดยตรงจะลำบากเพราะเป็น 0 0 9 2 อันเดอ
e
ง
"
ny
x+y.
by issues
แจ้งสลับที่ 19 6 18 x เป็นจำนวนครบ 4 +3 เป็น จน ตรรกยะ - 3 เป็น จน เหมาะ
พิสูจน์ (โดยแจ้งสลับที่ 1 ใน 3 และ เป็นจานวนจริงใดๆ

ページ13:

V.
การพิสูจน์โดยแข้งสลับที่ของประพจน์ 9 x 15 12 6 UP (9) A 404) Art2) - 3 (4,912)
=
.png ^rs prg^~s~T
879
Cx,
ซึ่ง ฟังว่า สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม 0.15 และ 6 จะได้ว่า A และ เงิน จำนวน
และ C เป็นจำนวนดี้666 อ ม ก 2x + by = 0 ไม่มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็ม
1.0.
* 6, 6 6 4, 4, 6 เป็นจำนวนคู่ AC เป็นจำนวน - Axt by : ไม่ม
Cb, t Z,
เป็นจำนวนเต็ม
กทมแสง สบ
e Z
1
เต็ม
Ha, b, c cz, a thong ^ bhog n ax + by = c wabantuan b
→ Cbt w
พิงค์ (โดยแจ้งสลับ) ใน 6,58 งานวนเต็มๆ
3
สัมมา 4 และ 5 เป็นจำนวน 68% A3 + by - C# เพลงเป็นจนเต็ม
โดยบทพยาม 1.4.3 จะได้ว่า มีงานวนเต็ม ๆ ซึ่ง α=21
ให้ 1 และ 9
ซึ่งใช้
พิจารณา
ทน เค็ม
n
ซึ่ง b = 21
มีจำนวนเต็ม
เป็นงานงบเต็มเป็นผลเฉลย ของ ของ สมการ 08469 - 6
ar + bs = c
C =
Cribs
= (2m)T+ (ทาง
mrtns
2 (mr+ns)
ซึ่งทาง
C: 2 Cmr+nS)
โดยบทนิยาม 1.4.3 จะได้ว่า C เป็นจำนวนคู่
จึงสรุปได้ว่า สำหรับแต่ละ จำนวนเต็ม 4, และ C จะได้ว่าที่ 4 และ 5 เงิน จำนวน
และ 8 เป็นจำนวนค่ำแล้วตัวการ 2x + y = 0 ไม่มีผลเลย เป็นจำนวนเต็ม 1

ページ14:

บทที่ 7 การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง
ข้อขัดแย้ง : ประพจน์ที่มีความจริงเป็นเท็จเสมอ
7.1 พิสูจน์โดยข้อ ข้อเพลงของประพจน์เกี่ยว P
วิธีพิสูจน์ สาม -p เป็นจริง ทำไปเเล้ว เผยข้อขัดแย้ง จะเป็นไปไม่ได้ที่ 2 เป็นเท็จ
เปลวสรุปว่า pเป็นจริง
จงพิสูจน์ ว่า 2 เป็นจํานวนอตรรกยะ
ประพจน์ ที่ต้องพิสูจน์ดัง 12 เป็นจำนวนอตรรกยะ
โดยใช้งาน โดยข้อขัดแย้ง นั่นคือ 42 เป็นจน ตรรกษ
เราจะมีดังนี้ P โดยกำหนด - 9 แล้วหาข้อขัดแข้ง แทน
P.
E
·P. = ~p
สูง โดยของเขา) สมมติ 2 เป็นจำนวนตรรกยะ
จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม - และ 6 โดยที่ 6 + 0
เ
b
+ √2 = a bower ca, by=1 -> boš pau
b
น
P
บทนิยาม 1.5.1
จำนวนจริง n เป็นจำนวน
mssee Crational number
ก็ต่อเมื่อ มีที่นอนเต็ม 0 และ
brown b÷0 % r = a.
b.
จํานวนจริงที่ไม่ใช้จำนวน
ตรรกยะว่า จำนวนอตรรกยะ
Cirrational number)
พิจารณา
2=92
b2
a²=2b2
เนื่องจาก มีจำนวนเต็ม 20" ซึ่งทำให้ 0 - 25
โดยบทนิยาม 1.1.3 จะได้ว่า " เป็นค
เนื่อง จาก 1 เป็น จำนวนคู่ จะได้ว่า 0 เช่น จน
- เป็นจน.. จะได้ มีจำนวนเต็ม ท
เอว 410
ซึ่งทําใ
จะได้ ก
เนื่อง จนในท
a = 2m 267 α = 2m 6626726 α2> 2b2
(2172
=
262
4m² = 262
4m^ = 2b
M2
b^= 2m2
4. ซึ่ง 6, 2016 โดยบทนิยาม 1.4.3 64 เป็นจน -
เนื่องจาก 5% เป็นจน. จะได้ว่า ๒ เป็นพ.ศ.

ページ15:

เอว 410 4 และ 5 เป็นจนๆ ดังนั้น โดยบทนิยาม 1.4.3 จะได้ว่า
มีจำนวนเต็ม X 1143 ซึ่งทำให้ 22% และ 6-
ne. 5.2. ca, b) # 1.
29
จะใด้ว่า 9.5.2. cag by =? และ นร.ม. ( 6,571 ดังนั้น เกิด
ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่ 2 เป็น จน. เราชะ
ชัยขัดแข็ง
จึงสรุปได้ว่า 1 เช่น จน, อตรรกยะ
7.2
การพิสูจน์โดยข้อขัดแข้งของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 1% 2017 (3)
* พังงา สมมติ 3x + Up (8) - ง แสดงได้ไม่ว่าเกิดพัดแรง จึงเป็นไป
ไม่ได้ว่า ประพจน์ (24) เป็น จริง
สำรับทุกจำนวนจริงที่ไม่เป็นคนท์ 0 40 พลังน้ำ 1 1 4 0
ประพจน์ที่ต้องมีงาน คือ Val e k - 03
-
1. a
#0
Ja e R {}, 1 = 0 -> C
พิสูจน์โดยพิบักแข้ง สมมติ จำนวน 3 ที่ไม่เสนา
= 0
เนื่องจาก X8 ดังนั้น X · 1
0 X
×
จะได้ว่า
1 = 0
ดังนั้นสิ่งที่ผมก็ได้ไม่เป็นจริง
จึงสรุปได้ว่า สำหรับ ทุกจำนวน หวัง ที่ไม่เป็นคนท์ 0 40 สูง 6 1 1 4 0 1

ページ16:

จงหลังว่า ทุกๆ จำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่ 2 เป็นคน
ใน 1 : 1 x 6 N 1 x เช่น 4 เฉพาะ
ประพจน์ที่ต้อง การ
X
คง x 60 x เป็นจำนอน
3 x C
x €
ยขึ้นจำนวนคู่-
→
พิสูจน์ (โดยจัดงดง ) สมาคม มาะ ที่ไม่ใช่
โดยที่
X
เป็นจำนวนคู่
โดยบนหยาม 1.4.3 จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม 1
x = 2m
เนื่องจาก มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่งทำให้
x = 27
โดยบทนิยาม 1.4.1
จะได้ว่า 217
บทพยาม 1. 4. 6
ใPWนจำนวนนับ ซึ่ง P
Pเป็นจำนวนเฉพาะ ← มีเพียง
จำนวนนับ 1 (At P ที่ 150
ตัว
บทนิยาม 1.4.3
- เป็นจนคู่ - มีนเต็มทรง
a b
a=2m
เป็น1พ.คี่ →→→ มีจน เต็ม ๆ ซึ่ง
a=2n+1
บทนิยาม 1.4.1
b
ท
ใช้ a และ b เป็นจำนวนเต็มใดๆ
0
ง_At 0
alb
- มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่ง
- On โดย 6 เรียกว่า ม.4 ณ
เนื่องจาก X + 2 ดังนั้น มีจำนวนนับ 1,2, X 10 3 0 6ละเรียก 4. ว่า วัน ของ
ที่มา > ลง กว้
6 นาย 6 ไม่ลงตัว ) สำหรับทุก
จำนวนเต็ม C ซึ่งทำให้ b + ne
หั่นคือไม่รู้จำนวนเต็ม ใดเลย ซึ่ง 6-00
โดยบทนิยาม 1.4.6 จะได้ว่า x ไม่เป็นจำนวน 6พาะ
ดังนั้น เกิดข้อขัดแย้ง ที่ว่า X เป็นจำนวนเฉพาะ
จำได้ว่า สิ่งที่สมมติไม่เป็นจริง
จึงสรุปได้ว่า ทุกๆ จำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่ 2 เป็นจำนว
คน

ページ17:

1.3 การพิสูจน์ โดยอดแห่งของประพจน์ - (3 4 60, p (4))
#พิสูจน์ สัมมาสมาชิก ใน 1 ซึ่ง pts) เป็น จริง และ แกงในได้ว่าเกิดข้อข้าง
จงหลังว่าไม่มี จำนวนจริงบวก 4 และ 6 ซึ่งทำให้ Na +6 - 30 + E
แนวคิด
Vrum
=
~ (3a, b6 R+, √a+b= √a+√6
คบกัน
ข้อขัดแข็ง ใส่ และให้มัน แล้ว หา ข้อขัดแย้ง " ( 30 ) 8 R t 16 6 6 + 1500
~
a
= Ja, b&R + fa+b
= A+ b → C
ๆ
พิสูจน์คน จึงขัดแข้ง) สัมมา มีจำนวนจริงบวก 4 และ 6 ซึ่ง 1440 = 10 + 0
พิจารณา
น
· 2.
√a² + 2 √α √6 +
(10+6 ) L
= (a +b ) 2
a+b
α76
α + + 2√α + √b +b
0
2C 16
62
+
เนื่องจาก 4 - 0 ดังนั้น 2016
หลังจะเขียนว่า เป็นไปไม่ได้ที่
2√6
น
=
=
0
b
0
0
a
ดังนั้น เกิดข้อขัดแย้ง กับ สมมติฐาน ทั่ว1 6 2 0
จึงได้ว่า สมมติฐานเป็นเท็จ
จึงสรุปได้ว่า ไม่มี จำนวนจริงบวก 4 และ 6 ซึ่ง 30. 46 - 10 + 16 ปี
=
t

ページ18:

9. 4 การพิสูจน์ โดยทั้ง ขัดแย้งของประพจน์ที่ 4 x 4 U, pcs) - 99)
วิธีพิสูจน์ สมมติ มีสมาชิก 0 ใน
จงพิสูจน์ โดยขอด แจ้งว่า
ประมงที่ต้องสงฆ์ คือ x
ประพจน์ ที่ต้องพิสูจน์ โดยจัดขัด
ม
และ 4 (4) เป็นจริง และ ข้อขัดแข้ง
4 4 4 2 แล้ว x = 0
x+1
4
x + 1 < 2 > X<C
x
1 ซึ่ง pe 0.1
ถ้า
6
x = 0 และ
12, x +
6
ยัง
คือ
- (x 6
6
3
1
4 0 4 x 4 1 2 3 4 4 0 0
=
(3x & R,
0
A
x +
x
=
0
และ X+1 4 2 และ 3 2 0
2
X+0 nx+1 <2>x<0) →
EXER XA X + 1 < 2 ^ X Z0) → c
พิสูจน์ โดยข้อขัดแย้ง ) สัมมา มีจำนวนจริง % ซึ่ง
จึงได้ว่า X 2 0
และ x+122
นดง ดา ด
X > 0
ดังนั้น
AX 41 2 AX20)
1 x ( x + 1) < 2
^< +
x² + 1
< 2X
x 2 - 2x49 < 0
18-772
ดังนั้น เกิดข้อขัดแย้งกับ (x-1) 20
cx - 1) 1 2 0
เลขอะไรก็ตาม กำลัง 2
งงมากกก เท่ากับ 0
จึงสรุปได้ว่า สำหรับทุก ใน อนจริง x ล x 4 6 และ X-3 216 x 4 0 0
X <

ページ19:

ใน 4 และ 6 เป็นจำนวนเต็ม งง งง ว่า ถ้า 0. เป็น จนคู่ และ ๒ เป็นน
²
แล้ว 4 1 (0 + 2 61 )
:t
Va e E, V 6 € O, it ca²+zb²)
ประพงษ์ ที่ต้องพิสูจน์ คือ
ประพจน์ โดยบัวบกยัง
Ha, b EZ,
Jab. ez a bug
เช่นจน
5
a ostrow an buton a →4+ ca²+zb²)
biton. Al ca² + 2b ²) →.0
A เป็นจน ค่ำ ^
พิสูจน์ โดยข้อขัดแข็ง ๆ สมมุติ มี 4 และ 6 เป็น จนเต็ม
า
(
ซึ่ง 2 เป็น จน และ 6 เป็น คน ที่
และ
4/102+262)
โดยบทนิยาม 1.4.3 จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่งทำให้ 0-2 0
และ มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่งทำให้
b - in + 1
โดยบทนิยาม
1.4.1
จะได้ว่า
&°^+ 20°= = Ak
สําหรับบาง านวนเต็ม -
พัง ณา
Q1 + 2 b2 = 4 E
+
(2m7² + 2 (2n+972 = 4k
4m² + 8n² + on + 2 = 4k
2m² +4²+8 +1=2k
1
=
9
บทพยาม 1.4.3
- เป็นจน ค. ๔ ปีเต็มหนึ่ง
4 เป็น1น. - - 4 เต็ม ท. ซึ่ง
b
a = 2m
a = 2n+1
บทนิยาม 1.4.1
ใหล และ 6 เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ง At 0
alb.
- มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่ง
6 = An โดย 6 เรียกว่า ม.4
10 9 0 6ละเรียก 4 ว่า วัน 1056
จำนวนเต็ม C ซึ่งทำให้ b + a c
หั่นคือไม่สู่นวนเต็ม cใดเลย ซึ่ง b - At
2k-2m²-4n2-4n.
1 2 [K-m²-2n² - 2n]
1
เพลงงๆก
มีจำนวนเต็ม -- m - 20
-22
ซึ่งหาให้
?= 2 c k -m²-2n²-2n]
โดยบทนิยาม 1.4.3 จะได้ว่า 1 เป็น จน ๆ
เกิด ดง กับ 4 เป็นจน.ค่ำ
จึงสรุปได้
แต่ละคน เต็ม 4 และ 5 ถึง 0 เป็น จน. และ 6 เป็น คน ที่
bbad 41 ca²+2b2)

ページ20:

บทที่ 9 พิสูจน์ เพลงเงื่อนไขสอง หาง
“ก็ต่อเมื่อ 11
ประพล
จะมีสูงไปแล้วก็ขากลับ
✓
เสดง
Vx EV, p (x -q (x7
จากนั้นแสดงว่า V & EV, 4 top tx1
1 - 4 และ 5 เป็นจํานวนเต็มใดๆ โดยที่ ๑ และ ๒ ไม่เป็น ศูนย์
.s.ca, by = b nmobro bla
rewa Va, b € Z - {0}}, usa.ca,b) = b <-> bla
wakbay (Va,bez- {0}, ca,b) = b⇒ bla) ^ ( \ a, b ez_{0} bla-> (a, b) = b)
พิง (โดยทรงา
N
(2) ใช้ 0.6 เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์
Davao 2.5.2.ca, b) =b
โดยบทนิยาม 1.1.4 จะได้ว่า มีจนเต็ม 6 เส้น จนเต็มที่มากที่สุด
เขาทั้ง 4 และ 6 ลงว
ozban bla
abbie
บทพยาม 1.4.4
ใย A และ ๒ เบนจน
เต็มใดๆโดยที่ และ6
ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
(bla live blb) more... vos a b. no
ตัวได้ว่า หรั บ จนเต็มที่ ไม่เป็นศูนย์ 2 และ
1
6? cabi=b big bla
(๔) ใช้ 4, 6 เป็นจน เต็มที่ไม่เป็นต้น
สมมติ blo
ใช้ c เป็น พ.ร. ม. Cab)
เนื่อง 4 1 0 0 1 0 ละ 60
นั้น ๖ เป็นตัวยาว ของ
เนื่องจาก C เป็นตัวยาวมาก ตัดของ 2 และ 6 ดังนั้น
โดยบทนิยาม 1.4.4 จะได้ 1 0 1 0 1 0 ละ 2 | 6
เนื่องจาก c lb ลงตัว ดังนั้น
โดย 6) และ 6 จะได้ว่า 2-6
=
C
c ≤ b
งา
เต็มบวกที่มากที่สุด
ที่นางทั้ง (และ) ลวด
บทนําม 1.4.1
ใช้ a และ b เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ง A+ 0
alb
- มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่ง
M
6 = 27 โดย 6 เรียกว่า มนุษ
109 0 และเรียก 4 ว่า หาร 1935
จำนวนเต็ม C ซึ่งทำให้ b + a c
นั่นคือไม่ นวนเต็ม ใดเลย ซึ่ง 5-4
4
660 * 6
C
- - 6
≥ b
·ortão cambr=b
จึงได้ว่า หรับ จนเต็มที่ ไม่เป็นศูนย์ 4 และ 5 ลง blo 63 (4,6) -6

ページ21:

(๒) จึงสรุปได้ว่า หรั บ จนเต็มที่ ไม่เป็น สนพ. ร.9 (4,67 - 6 ก็ต่อเรือ 61, 0
รับแต่ละคนเต็ม 4 งง งง ว่า " เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ 1 พันคน
( ๕ ท
"
ประเมนที่ต้องพิสูจน์ คือ 1 8 2, 1 เป็นจน - ท
ว
ฟันทนวนคู่
เจน คู่
เป็นจนๆ - ทานแล
พิสงฆ์ โดย (Un2, n เป็นจน - 1 เป็น จะ 4 ) A (162
1
77
พิพัฒน์ โดยจัดแข่ง : CuneZ, เจนจน - n เป็นจน - 4 (162, 1 เป็นต้น - ทำเน
Lavez, 1 เป็นจน คู่ - ท เป็นงบที่ 2 ch (162, 1 เป็นจน 0 77
พิสูจน์
1
(-) โดยข้อขัดแข็ง ) สมมติ มีจำนวนเต็ม ท ซึ่ง ท
n
=
n = 6 4
ท เป็น
เป็น ธน. (ละ เทศน
โดยบทนิยาม 1. 1.3
จะได้ 34
11 - 10. สานรับบางจนเต็ม ณ
เเละ
จะได้ว่า
626+172
1 - 2 5 4 1 สาย บางวันเต็ม 5
2 a
462 +46 +1 = 20
1 = 20-
462-4b
1 = 2Cα-262-2b]
บทนิยาม 1.4.3
in a
2. เป็นจน - 4 มีน เต็มทรง
a = 2m
ณ เป็น1น.ดี้ - มีน เค็ม ๆ ซึ่ง
a = 2 n + 1
เนื่องจากมีจำนวนเต็ม 0 - 10 - 16 ซึ่งทำใน 15 2 4 4 - 10 - 200
โดยบทนิยาม 1.4.3 จะได้ว่า 1 เป็นจำนวน
ดังนั้น
เกิดดด ยัง กับ 1 เช่นจน.ดี
ฐานเป็นเท็จ
จึงได้ว่า งานรับแนวนเต็ม ท ดัง ๆ เช่น จนคู่ แล้ว ที่เป็น
-
- โดยตรง) ให้
4
n
เส้นจนเต็มใดๆ
เป็นคน..
สัมมา ท เ
โดยบางขาม 1.4.2 จะได้ว่า
จะได้ว่า
ท
√2
น
=
ท : 20 สำหรับ เกม
2793q unJ296.bong a
n = 2a
c๑ ฉา
4 ot
2.02ฝ่า
ท

ページ22:

032026 2026.62 2a² am? qui n² = 2C207
j
โดยบทบาท 1.8.9 จะได้ว่า ” เป็นจน. 1
จึงได้ว่า งานประจำนวนเต็ม ๆ ดับ ๆ
ท
เป็น ชนะ แล้ว ที่เพื่อน ด
ป
ป
จึงสรุปได้ว่า รับแต่ละจำนวนเต็ม ๆ ซึ่ง ๆ เป็นจานวน 13 เอง 1 เป็นนค
psq.
!
เป็นสัจนิรันดร์
ในทานซึ่งเดียวกัน ถ้ามี 3 ประพจน์ สมมูลกันเมื่อ
aza P=q
ประพงษ์ pและ 4 สมมูลกัน เมื่อ
P. ES q
n
q
r
A
res
P
เป็นสั่ง3แอร์
a
A
ใช้ได้เหมือนกัน
ลบ
P→ qn qr.
ใน n เป็นจํานวนเต็ม จง พิจารา ประพจน์ต่อไป สมวงกัน
ท
ทะ
คู่ 2) 1 3) 4 4 1 คร
เป็นจำนวนดู
17 n” เป็นจำนวน คู่
เอตั๊ด
ง
A
2)
n
2) → 017 เป็นจริง
n
.09
เป็นจน
เป็นๆ
Vne 2, n² Wuou g son w/ m² ^4/m² <
พิสูง โดย
เจน
เป็นจานวน ท
in.t
2,0
vn 8 2, 1 เส้น จน ๆ -ท. พันจำนวน 1 V.6 2.1 พันจำนวนคู่ - 224 14
\in e
Vne 2, 4/m²
พิสูจน์
(1)-(27 67866 p>q E~q>> ~p
(1) - เขา โดยแข็ง หลังที่
ใช้ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ
สมมติ ท เป็นจน.
โดยบทนิยาม 1.4.3 มั่งนะเต็ม 0 ซึ่ง
พังงา
ท = 2 0 + 1
92 = (20+1; 2
\ne Z, notw

ページ23:

n² = 4a² + 4 a + 1
n² = 2 (29² +24 7+1
จะได้ 4 จนเต็ม 10 + 20 ซึ่งทำให้ 1 1 1 1 1 2011
20+
ท -
-= 2C2α² +2a7+1
โดยยม บาน 1... ทั้งนั้น n? เป็นจนค่ำ
จึงได้สำหรับแต่ละจำนวนเต็มท สาทร เป็นเหตุ แล้ว
(2)
- (9) (โดยตรง)
Vn & Z,n เป็นจำนวน
4 ท
ใน 1 เงิน จน เข้มใดๆ
work
ส้มม
โดยบทนิยาม 1.4.9
พิจารณา
ท เขินจน.คู่
n=2a
n
2
ท2
จะได้มา มี4พ.เต็ม
n2
=
=
สำหรับบางจน.เต็ม 0.
=12972
4.al
46972
α 2
ซึ่ง n =
4
at
จากบทนิยาม 1.1.1 จะได้ว่า
4142
ท
เป็น คน ๆ
บทนิยาม 1.4.1
ใช้ 2 และ 6 เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ชัง At 0
alb
- มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่ง
b = am โดย 6 เรียกว่า พ.ศ
109 0 ละเรียก 4 ว่า “วัน 1955
จำนวนเต็ม C ซึ่งทำให้ b t att
นั่นคือไม่รู้งานวนเต็ม ใดเลย ซึ่ง b-06
r
จึงได้ว่า สำหรับ และ จำนวนเต็ม ๆ ๆ ๆ ในจำนวนแล้ว 4 ท
(37-7017
(โดยตรง 7
94 n เป็นจํานวนเต็มใดๆ
ท
5229 442
โดยบทนิยาม 1. 4.1
พัง1รณา
1
Vn € 2,4/n? → www
จะได้ว่า มี น. เทม 1 ที่ทำให้ 1 - 4 1
n2 = 4m
n = 2t2m]
จะได้ว่า มั่งนะเต็ม 2m
โดยบท ยาม 1.4.3 จะได้ว่า
ซึ่ง ท. 2 1
ทง เป็นจนคู่
จึงได้ว่า สำหรับ และ จำนวนเต็ม 0 0 4/1 แล้ว ท เป็น พ
ท ภา

ページ24:

จะเห็นว่าทั้ง งาน อันใน 11 6 2 4 เลย สามาง 6 ถึง 12 ไว้ข้างนอกได้
ซึ่ง สรุปได้ว่า ปะ-พานทั้งงามสม 8 กัน
บทที่ 9
9 การพิสูจน์
กข 66 งง กระ
เราจะใช้ สมมูล 2 งง คือ T → p = p
ใช้พิสูจน์ ค้าเชื่อมหรือ
ซิ่ง พง
proof by cases
(pro-r= (p->r)^ (q->)
(p-1)^(9->)
P = (PqV PzV P3 v... Pn P
E
cp->p? ncp₂-7p7n... npm-p
3.1 การพิมพ์โดย 3 กรณีของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 1x & Up (x)
แบบจน
.
คู่ 1
จน.ดี
ง
a
ให้ 0 เป็นจำนวนเต็ม จงพิสูจน์ว่า 0 - 3 0 1 5 เป็นจำนวน
แนวคิด ประพงษ์ ที่ต้องพิสูง คือ V4 62, 642 645 เป็นจน ที่
กันจนโดยตรง มันยากที่จะจัดรูป 0% 30% ใน อยู่ในรูปจนได้
เราก็แจงกรณี ว่า จนเต็ม มันจะแบ่งเป็น 2 กรณี คือ จน กับที่อยู่แล้ว
เลยต้องพิสูจน์โดยแสดงว่า
เป็นจน ก 4 -
Ha ez, (a wtroud → a² trans itin) (antisun a²+30 +5
(0 เป็นจน ดู
A
ดังนี้ โดยแจง กรณี ) ใน 2 เป็นจน เพิ่มใดๆ
พิจารณา 2 05 - ตามจำนวนเต็ม -
ณณีที่ 1
0 Wขึ้นจน.คุ
โกยยก งาม 1.4.5 มีจำนวนเต็ม
ซึ่งทำให้
a = 2พ
พิจารณา
a² = 22m72
a²+3α = 4m² + 6m
a²+3a+5 = 4m² + 6m+5.
a²+3α+5 = 2 C 2m² + 3 m +27 +1
บทนิยาม 1.4.3
เป็นจน ก็ )
2. เป็นจน - - จนเต็มหนึ่ง
A = 27
ณ เป็น1พ.คี่ ← มีน เต็ม ท
a=2n+1
ซึ่ง

ページ25:

4
มีจำนวนเต็ม
3 1 12
30 45
+91762266072 2m² + 3 m + 2 wg a² + 3a +5 = 2C2m² +3M+2)+1
โดยบทนิยาม 1.4.3 จะได้ว่า 0 1 3 0 45 เป็นจน ที่
กรณี 1 Q เป็นจน ก
โดยบทนี้ยาม
1. 4.3
a = 29+1
สำหรับบางจนเต็ม ท
พิจ1 ร ณ า
02+30+5
(2n+1)² + 3 (2n+17 +5
4n 2 +an+1 + 6n+3 +5
= 4n² + q on +9
=
2 (2n 2 + ≤ n +47 +1
607 26.6092 2/12 +54 +4 939 a²+ 30+ 5 = 2(2n²+5n+47.+1
โดยบทหนาม 1.4.2 จะได้ว่า 0 14 30 15 เป็นจำนวน
โดยกรณี ที่ 1-2 สรุปได้ว่า สักรับแต่ละจำนวนเต็ม 4 ซึ่งทำให้ 04 30 15 เพิ่งจน
0
a² + 3a + n
แบบเป็นบวก กับเส้นลบ
แบ่งเป็น ปี 0 2 0
(2) aco
สำหรับจำนวนจริง 6. ใด ๆ จง พิสูจน์ว่า - 1 4 1 4 4 4 4
ประพจน์ที่ต้องพิสูจน์คือ
HaeR, -alsas/al
ต้องเเสดงว่า
ร
n
บทนิยาม 1. 2. 3
ใน 3 เป็น จน จริงใดๆ
Vae, (azo → Talsasial) (aco → lalsasal) (x) = {^
× เมื่อ X ≥ 0
- X เอง X < 0
=VaeR,ca≥0→ -asan a≤al)^(aso ->-alsan aslall
ผู้สูง (โดยแสง) ใน 4 เป็น จน จริงใด ๆ
พิจารณา 2 กรณี ตามจำนวนจริง ต
กรณีที่ 1 ให้ 4 2 0
โดยบทนิยาม 1.3.3
จะได้ว่า
Tal = a
เอง จาก
| 0.1
= a
ดังนั้ น
- 1 - - - -
-0
930
เหร จาก 0 2 0
A
สอนน
a
จะได้ว่า
a
C S 0

ページ26:

โดย 1 และ 2
จะได้ว่า - Al : 0
จะได้ว่า - - -
และ
as lal
กรณีที่ 2 ใน 4 4 0
โดยบทพยาม 1.5.3
j
dosin = - a
(0)
เนื่อง 4 10
เอง งา 9<0
Tal = -a
ดังนั้น - [0] = 0
-a> o
จะได้ว่า
ดังนั้น
a
<
-
a
09 (3) 1 (4) จะได้ว่า
a = la]
จะได้ว่า - - - -
-10150
เเละ
as lal
โดยกร - 1 - 2 5 สรุปได้ว่า แต่ละ 44.9, 4 จะได้ว่า 14 14 4 4 14 | D
จงมองว่า ไม่มีจนเต็ม ๆ ซึ่งทำให้ 3 2124 21 + 1
ท
ne Z, 3/2/²+2n+1)
2
Vne 2, 3 an² + 2n + 1
แข่งพื้น 3 4
เจน 0 เศษชั้น 1 เศษเป็น 2
^
16 on Magna Un E Z, cn unsňou z bravo
ง
แบบเสนอ
312n2 t2n +1) i
en ansaw 38641-31 2n² + 2n+1)
CM 1945 ด้วย 2 ได้เศษ 2 - 3 1 24 21 + 1)
พิสูจน์ (โดย แจง ก ร ะ
พิจารณา 3 กรณี ตามจำนวนเต็ม ๆ ที่หารด้วย 3
กรณี ที่ 1 ใน 1 พระด้วย 5 เศษเหลือ 0
โดยขั้นตอนวิธีการ 17 จะได้ว่า ทะ 3 4
เมื่อ 9 เป็นผลมาร
พิจารณา 2n² +2n+1 - 2c3q7² + 2 (3q1+1
ดังนั้น
=
189²+69 +1
= 30692 +297 +7
3 นาย นท นทะ ได้เศษ เหลือ 1
ดท ยาว 1.4.1
ใช้ a และ b เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ง At 0
alb
- มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่ง
6 = am โดย 6 เรียกว่า มณ
109 0 ละเรียก 4 ว่า “วนา 9055
จำนวนเต็ม C ซึ่งทำให้ 6 + 0 c
พอไม่ จำนวนเต็ม cใดเลย ซึ่ง b-00

ページ27:

ดังนั้น 5 1 17 +90+1
กรณีที่ 1 - 1 หาร 3 ได้ เศษ 40 1
ท
โดยขั้นตอน วิธีการ จะได้ว่า ทะ 3 2 1 เมื่อ 2 เป็น ผล บ 13
4
918 4 1 2n²+2+1 = 2 (3p+1)²+2(3p+1) +1
= 2(g p² + bp + 1 ) + 6 p + 2 +1
= 18p² + 12p+ 2 + 60+2+1
1 8 p 2 + 1 8 p + 5
=
30p² + 6p +17 +2.
ดังนั้น 3 ยา 3 20 +21+1 ได้ เศษเหลือ 1
ดังนั้น 5 1 27 +90+1
กรณีที่ 3 ใช้ 1 นาย ด้วย 3 เหลือเศษ 2
n
โดย นตอนการมาร จะได้ว่า
n = 37+2 เมื่อ Y เป็นผลบาส
075247 24²+2n+1 = 2 (3ɣ+2)² + 2(3ɣ+2)+1
=
2 (gr² + 12r+4)+6r+4+1
= 9882 + 24r +8 +68+4+1.
= 1852 + 30r + 13.
= 3 cgr² + 1 or +47 +1
ดังนั้น 3 นาย นท
ทฯ ได้เศษ เหลือ 1
ดังนั้น 5 1 21 +2011
20²
จึงสรุปได้ว่า ไม่มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่งทำใน 3 นาง บท 40 41 4

ページ28:

[i]
0 6 4
3.2 การพิสูจน์ โดย 6693 0 6 ของประพจน์ **,360, PC19)
เจอออกมาเป็น 4 กรณี
แบบ
ง
V
า
pcx,y)
4024763947932719622605g x book y form (xy| = |x|ly|
ประพจน์ ที่ห้อง หลังที่ 8 13 8 18, 1991 = x 19
= Ux, y ER, Cxzony 20― |xy| = |x|ly|)
9
พิสูจน์ (โดยแจง กรณี)
(xzony 20-|xy| = |x|ly| ) ^\
(x <0.ny 20. lxy| = |x|ly|] ^
< x <o ny co → lxyl = \x\ly]] n
4x x, y เช่น จำนวนจริงใดๆ
พิจารณา 4 กรณีตานนน จริง x และ y
กรณีที่ 1 ใน X 2 0 0 9 2 0
โดยบทพยาม 1.2.3 จะได้ว่า
1x1 = x และ y = 9
ดังนั้น x y ) = x y
จ
เนื่องจาก X 2 0 และ 9 2 0
ดังนั้น xy - 6
โดยบทนิยาม 1.9.5 จะได้ว่า
(xy | = x y
—®
กร ส ท น ใช้ ×
โดยบทพยาม 1.2.3
\x\ly! = xy
fog @ 16 @ Joban [xyl = (x/[y]
ใช้ x = 0
bboz y Lo
และ lyl = -5
ดังนั้น
เนื่องจาก X 4 0 6 8 4 1 4 0 0 4 4 7 0
จึงได้ว่า (xy | = 1x1 19
ดังนั้น
Ixyl
=
xy
โดย 3, T
กรณีที่ 3
ให้ X 2 0
6624 y 20
โดย บทนิยาม 1.3.3
|
1 x1 = x
bodily = y
และ =
0)

ページ29:

1920-26 | x\\y] = × c-y) = -xy
ดังนั้น |xl|y| C-
เนื่องจาก 4 2 0 1
5 4 0 ทั้งนั้น xy - 6
X ZD INE y < ≤
ดังนั้น |xy|
-xy
โดย G 10
จึงได้
1x 9 | = 1 x 19 )
กรณีที่ 4 ใน 4 4 0 6 6 6 3 2 0
X<0 6.6002 4.2.0.
(5)
โดย ละ 1- 4 จึงสรุปได้ว่า สำหรับ จน 43 X และ 3 จะได้ (xyl - 1991 1
[แบบที่ 17 แข่งเป็น
xy so
20
x y < 0
1 x y z o
เจ้า พิจารณา กรณี วง
ประพจน์ ที่ตั้ง การพิสูจนถึง 6x9 6 18 x 9 = 1 Ay
= b x, y еR, <xy >0 ixyl = \x\lyl)
0
<xy so. → Ixy1 = \x\|y₁) ^
<xy =0 ->
sxy =0 -> 1x y1 = (xlly 1) n
)
พิสูจน์ (โดยจง กรณี ) ใช้ X และ 3 เป็นจำนวนจริงใดๆ
16061 3 กรณี ตามจำนวนจริง X และ 9
กรณีที่ 1 q x x y >
ดังนั้น lkyl = xy
พิจารณา 2 กรณีที่ชอบ จานวนจริง x และ y
กรณีย่อยจำนวนจริง X 9
466 466 ที่ 1.1 ใน 4 2 0 และ 9 2 0
ให้
xy. >o

ページ30:

โดยบทพยาม 1.3.3 124071 1x1 = x 6600 = lyl = y
กังหัน xl|y| =
xy.
โดย ( 17 และ 1.1
(1.17
Jobñan lxyl = (xlly.\
กรณีย่อยที่ 1.2 ใน 4 - 6 และ 9 4 0
20 y.
โดยบทพยาม 1-3.5 จะได้ว่า (x) = - 4 และ 191 - - 3
1x1 -x =
\x\/yl = (-x^(-4) = xy
(-2)
bow (1) 1122 (7.27
5087 1x4l = ixilyl.
-
ก ร ณี 2
qu xy so
0212 (xyl = -xy
Ixyl = ix\ly!
·(27
พิจารณา 2 0 5 8 9 0 9 4 13 480 x 60 ง
ง
ที่ทำให้
mm z ŭ x y < o
เ
กรณี ของที่ 2.1 ใน 4 - 0 และ 9 2
โดยบทหยาม 1.2.5 จะ กว่า 1x1 = x
\x\ly/= (x)(-4) = -xy
(0) (2) และ (2.1) จึงได้ว่า
กรอบที่ 1.1
โดยนิยาม 1.5.2 จะได้ว่า x 1 -
nogovo \x\ly! = c-x) (y) = xy
โดย t22 (ละ (2.27 จอได้ว่า
0
และ
lyl = -y
_ (2.1)
|xy| = (x109]
Fre x < 0
-x
1100 = 141 = y
-
(2.2)
|xy|=\x\14\
52.1-2.2
=tain (xy1 = xlly!
150€ 3
4.
x4=0
ดังนั้น
1x y1 = 0
|
(37
พิจารณา 20 - บานวนจริง x และ y ที่ทำ
กร อยู่ที่ 2.1 ให้ x = 0
โดยบทหยาม 1.2.3 จะได้ว่า (x) = 0
ทั้ง
xy=0

ページ31:

0
\x\ly1=oly 1 = 0
Fow (3) 11A3 (3.1)
town 3.2 y = 0
born [xy \ =\x\ly]
auzoan 1xyl = 1xllyl
(2.0)
โดยาง ดี ที่ 19 และ 23.17 นิ้วได้ (xy = 1x1 (9)
Fawn 3.1-3.2 og boran /xyl = /x\ly\
lxlly!
1650×66oxy form action ixyl = |x|ly|
Engsub 9-3 998542
แบบ9 ฟอนดู่คี่
-
10 หลัง ว่า สานรับจำนวนจริง x + 4% ๆ ใด ๆ 6 (x)
MoonNow y
<
SY
-
ว
- y < x <y.
Vx, e lR ₂ CK l < y — y ≤ x sy
ง
= Vx jy εIR, (\x\ <y -> y < x ? x < y ?
พิสูจน์ โดย รอไม่ได้ เพราะ ตัด
J M J b b V baJonson
พิสงฆ์ โดย กรณี )
1x1
Vx,y & R, ck ky > ex≥ 0 -> y < x <y>
exi<y> <x<o>-y < x <y)

ページ32:

ใน 4 และ 6 เป็นจำนวนเต็ม
จง พิสูจน์ว่า ด้า 2 606 6 มีภาวะเรือ เหมือนกัน แล้ว 046 เป็นจำนวนคู่
√renounou no Vab & Z, a
ประพงษ์ทั้งงง พิศ
VabcZ,
t
(0และ ๒ เป็นคู่
bond busoudu — arbutuong
เน
→ +6 เป็น จนคู่ 7 ก
(Cและ ๒ เป็นดี -2.6 เป็นจน คู่ 1
พิสูจน์ (โดยแจง กรณี) ใน 4 และ 6 เขินจน 6ตัวใดๆ
4. และ 6 มีภาวะ หรือที่นอนสั้น
ส้มมา
พิจารณา 2 กรณ
1
กรณีที่ 1 ณและ๒ เป็นคู่
bre
โดย ทพยาม 1.4.3 จะได้ว่า จนเต็ม 10 และ 1
a: 2m. boot
b = 2n
0 + b
20 + 2n
a+b=
263+1)
เนื่องจากมีจนเต็ม ทนท
saba a+b=2cm+n?
โดยบท ยาว 1. 4.9 จะได้ว่า 0 46 44 44 - -
กรณีที่ 2 และ 6 เป็นที่
a+b batzo 426.
ซึ่ง
บทพยาม 1.4.3
แนวคิด
- เป็นจน - 4 มีน เต็มหนึ่ง
A - 2m
- เป็น พ.ศ - มีน เต็ม ท
a=2n+1
J
ซึ่ง
รับ จนเต็ม 6 และ 6. มีภาระ
คู่เรือ เหมือน กัน * ทั้ง ๒ ๖๒๕๖
เป็นจน.คู่ หรือ ทั้ง และ เงินน
4 และ 6 มีภาวะของที่ต่างกัน
หนึ่งใน 4 และ6.เส้นจำนวนคู่ และอีก
จํานวน เ น จน.ด
a+b
ดังนั้น ( 4 6 เป็น จน คู่
44

ページ33:

โดยกรณี 1-2
จึงสรุปได้ว่า ใน 6 และ b เป็น จนเต็ม
ค่า 0 606 6 มีภาวะเรื่อ เหมือนกัน แล้ว Go เป็นจำนว
ดั่งจะเพียนเป็นแย้ง สลับที่
p-?q=~9.?~p.
ta, b & Z, a+b64261269 →
- สั่นรับแต่ละจํานวนเต็ม 4 และ 6 จะได้ว่า
ก (+) เป็นคนดี แล้ว ( เป็น จนที่ ๒๖ ๖ เป็นคู่ หว
เพลงมีการละ การพิสูจน์
a
เส้น จน คู่ และ ๒ เขินจน.
ม
ใช้เรียนในกรณีที่ ว่า การพิสูจน์ เป็นไป ทำนองเดียวกันกับกรณีที่ 1 จะได้ว่า...
ซึ่ง พอจน ว่า ถ้า ท และ n เป็นจนเต็ม ซึ่ง อย่างน้อย ๆ หรือ ท เป็น จนดู
แล้ว ทท เป็นจนคู่
แนวคิด
ประพจน์ที่ต้องพิสูจน์ คือ......5.2. m เป็นจำนวนคู่ Y.ย. เป็นจำนวนคู่... ยาย เป็นจำนวนคู่
โดยใช้วิธีการพิสูจน์โดยแจงกรณี นั่นคือ ต้องแสดงว่า
yim, Is Z. ( เป็นจำนวนคู่ - ราย เป็นจำนวนคู่) 6. (ส. เป็นจำนวนคู่ - ขาย เป็นจำนวนคู่)
♡
พิสูจน์ (โดยแจงกรณี) ให้ 1 และ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ
สมมติ m หรือ n เป็นจำนวนคู่
พิจารณา 2 กรณีตาม m หรือ n เป็นจำนวนคู่
กรณีที่ 1. ให้ m เป็นจำนวนคู่
โดยบทนิยาม 1.4.3 จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม 5 ซึ่ง m = 25
ดังนั้น man = 2 = 2 (sn)
เนื่องจาก 80 เป็นจํานวนเต็ม ซึ่งทำให้ man = 2(sn)
โดยบทนิยาม 1.4.3 จะได้ว่า mini เป็นจำนวนคู่
กรณีที่ 2 ให้ 1 เป็นจำนวนคู่
การพิสูจน์เป็นไปทำนองเดียวกันกับกรณีที่ 1. จะได้ว่า n เป็นจำนวนคู่
โดยกรณีที่ 1 – 2 จึงสรุปได้ว่า จึงสรุปได้ว่า ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็มซึ่ง อย่างน้อย 1 หรือ 1
เป็นจํานวนคู่แล้ว n เป็นจำนวนคู่
E
จง พ น ไม่มี จำนวน 45 ที่แตกต่างกัน 4.6 และ 8 ซึ่งทำให้
a+b+c
ประพจน์ที่ต้องพัง
คือ "
ญ
=
ab=ac = bc = abc.
(7 a, b c ER foes a b, congrias, a+b+c= ab = ac = bc = abc)
~ (~ (7 a,b,e ER foc ab, congria, a+b+c= ab = ac = bc =abc) C
1

ページ34:

พิสูจน์ (โดย ปกแข็ง สมมติม 0, 1, 6 เป็น จน จริง โดย 4,0,0 ต่างกัน
voniju a+b+c = ab = αc= bc = a b c
เนื่องจาก 0.96 ละ C แตกต่างกัน ดังนั้น โดยไม่เสียบทั่วไป ให้ 04 0
พิจารณา
a b = a c
ab
ะ
a
b = c
& C
a
เกิดขัง ขัดแข็ง กับสัมมฐานที่ 1
b = c
จึง 4รูปได้ว่า ไม่มีจำนวนจริง ที่แตกต่างกัน 2.6 และ 6 ซึ่งทำให้
ท
เม
a+b+c
=
abac= bc = abc
n
"j
€0, (3; ez, n=4j + 1) v (3; ez, n=4-1)
พอลอง ทา จน.คท. ใช้อยู่ ในรูป n=2k 47 แล้วพบว่า
ทะ
* * 6 * จะ เขียน ท น รูป
ท = 1 - 1 ได้
- 8 0 จะเขียน ๆ ในรูป
ทอง ต้องวา
แต่ถ้า
ทะ 45 + 1 ได้ เสียงแบ่งเป็น 2 กรณ์
Un e Q [ 3k ez, n=2k+1 (kWμ019 3 Z, 4+ 3 Z¸n-4-1)
^ (KW016. A jez, n-4j+1 y 3; ez, n=41-1)
พิสูจน์ (โดย แจง กรณี ) ใช้ n เป็นจำนวนคี่ใดๆ
โดยบทนิยาม 1, 8.3 จะได้ว่า
พิจารณา 2 กรณี
V
n = 2k +1 25 10026.b k
ตามจนเต็ม 6
กรณีที่ 1 ใช้ - เจน จน คู่
โดยทายาม 1.1.3 ขึ้นได้ว่า จะได้ว่ามั่ง..เต็มๆ ซึ่งทำให้ A = 25
เองจาก
v. J
างนา
n = 2 - 4 0
ท
n = 2c2j7+1
.เม

ページ35:

n = ≠j + 1
ถั่วนั้น ทะ 4) + 1 ตันรับบางจนเต็ม
กรณีที่ 2
ใช้ 4 เป็นงน.ศ
โดยบทนิยาม 1.45 จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม ซึ่งทำให้ 6 - 2541
เนื่องจาก
หว
ท = 2-4 1
n = 2 C20+ 1 7 4 1
n = 4√+2+1
n = 41 +3
n = 41 +4-1
n = 4 ( 1 + 1 ) - 1
| =
โดยลง 1-7 จึงสรุปได้ว่า สำหรับแต่ละค
จะได้ว่า ทะ 15 +1 ครับ ทางรพ. 52 ) เรื่อง
จงพิสูจน์ว่า X+ (x - 1 > 7
แนวคัด
1891 {
-
ประพจน์ที่ต้องพิสูจน์
063 90 บ.
X-7
ท
ท= 4 - 1
41 - 1 นรีบยาวจนเต็ม 10
พบแต่ละจํานวน 43 X
เมื่อ X-7 2.0.
เมอ
<0
Ux e B, x+1x+71 27
1
x = 17, 17+ | 17-71
X = 6
8+18-71
า
X
2
2+12-77
ห้องแสดงว่า
งง
"
27
≥7
s T
7
527
VxER, C1x-71 ≥ 0 ×+ [X-7] ≥7) ^ ( 1x-71 <0> X + (x-71 ≥ 7)
พิสูจน์ (โดย แจงกรณี )
AA
qu
K 6ชั้น จน จริงใดๆ
A

ページ36:

=
ตาม9 น. 930 X
พิจารณา 2 ก ร ณ์
กระฯ 1 ใน 4 - 7 | 20
เนื่องจาก
ถั่วพัน
เนื่องจาก
1x-71 = X-7
· x + (x -71 = x + x-7
* 7 7 0
จะได้ 1 x + x 11
=2x-7
= 2X-7 26 47-7 =
4-7-
ดังนั้น x+1X-712·7
กรณีที่ 2
ใน x-7 <0
ดังนั้น
18-71=-x+7
พัจน์ณา
x + x - 7[ ะ
x+ (-x+7) = 7
ดังนั้น
4x+\x-71 = 7
Cดบ 1-1
ง ง
a
cut1
.
ใช้ 1. เป็นจน เต็ม 10 พิสูจน์ ว่า " หรือ " 1 เป็นจน
ประพจน์ที่เรากองพิสูจน์ 10. 6.2, 0. เจนจน - v 0.1 + 1 เป็นชนะคู่
ต้องแสดงว่า
พอด (โดย กรณ
กรณีที่ 1
ใน 6 เช่นจน
Haez, va2+1
Castrop-²+1 66
ให้ เป็นจำนวนเต็มใดๆ
11 5 4 1 2 กรณี สาม จน เทม 0.
ต
โดย ตัวอย่าง 9. 4.9 จนได้ว่า 2% เป็นจำนวน
ดังนั้น ' เป็นจน ดู
เป็นจนค่ำ
โดยประพจน์แข้งสลับที่ของแบบฝึกหัด 4.4
V92+1
01+1 เจิ้นจน คู่)
ทบ. 9.4.1
NaeZ, a เป็นจน คู่
at เป็น 6.คู่

ページ37:

จะได้ว่า N' เป็นที่
โดยบทนิยาม 1.0.9
พิจารณา A141
+1
>
จะได้ว่า ** (1) สวนรับงาน, เต็ม ท
(24+1)+1
2 Cnt 1)
เนื่องจาก จนเต็มทรา ซึ่งทำให้ a +1
โดย บทนิยาม 1.1 จะได้ว่า 0.41 เป็น 4 น
โดynsd 1–2
สรุปได้ว่า
จะได้ว่า " หรือ 64 +1
4
ง
น = 2 (m +1
d
จนเต็ม
เป็น จน
10. 1 . 2 การพิสูจน์ 6 x 6 1 1 P (4) V 42x)
า
เพราะ ต้องประพจน์นี้ สมมูลกัน และ การพิสูจน์แล้ว ง่ายกว่า
ด้วย W x 60, tx1
ญ
-7.9(x?
วิธีผง สัมนา ตัวใด ทั้งนั่ง เป็น ๆ ละ
๕ คงไม่ได้
อีก ถ้าเป็นจริง
ใช้ 4 เป็น จนเต็ม งง ที่สูจน์ ว่า " หรือ 0.141 เป็น
a
มงา
Ha e Z, a² a² +n
ประพจน์ที่ต้องการพิสูจน์ 462, 0
นวน
เป็นจำนวนคน 21 44 เป็นจน
8. 50
80 กับ ประ 44 46 6 2 3 1 เป็นจำนวน 30% + 1 เป็น 4.0
ร
พิสูจน์ ใน 4 เพื่อจนเพิ่มใด ๆ
สมมติ เป็นจน.
โดยบทนิยาม 1.4.3 จะได้ว่า มีที่นอนเต็ม ท ง " = 21+1
พิจารณา
02+1
21+01+1
2(n+1
เนื่องจากมี จนเต็ม
n+7
ซึ่ง
α2
+1 = 2 cn+1)
โดยบทนิยาม 3 จะได้ว่า 0 41 เป็นจน
จึงสรุปได้ว่า สำหรับจนเต็ม 5 จะได้ว่า 0 หรือ 0.41 เป็นจำนวน
a
M

ページ38:

ใน a และ b เป็นงานเต็ม
จงพิสูจน์ว่า 0.46 เรือ 0.0 อย่างน้อยหนึ่งจำนวนเป็นจำนวนคู่
แนวคิด
Habe Z, a + b
e
0 4 6
ab
4 1 1 0.6 เป็น 4.4
66 เป็นจน.คู่
เป็นคน
ดู
ประมงที่ต้องการสูง 6.6 6 2
สมพลกับประพจน์ : 4,6 6 2 1 646 จน. 6 -
ประพจน์ใน ทบ. 3. 4.1 : 1, 2, 1. เป็น 4.4 4.1
Um, n ez, พุทเขึ้นจน.ค.
เขียนแย้งสลับที่
พลังช
า
ใบ c,b เป็น 1น.เต็มใดๆ
สพ 446 เป็นจนดี
โดยประมง ระดับที่ 100 บ. 3. 4. 1 1 1
จน.
โดย นิยาม 1.4.3 งบได้ว่า มีจน เต็ม 1 และ 4 ซึ่ง
α = 2n+1 และ
b :
= 2137+1
พัน.2. พ.ท. พันธน
mเป็นจนดี้ 0 0 เจนจน ค่ำ
0 64% 6 เป็น จนที่
พิจารณา (+6 = C2n+1 7+ C2M+1).
24+23+2
= 2 ( n+1
เนื่องจาก มีจำนวนเค็ม 14 9 41 ซึ่ง Ab = 2cm + n + 1)
โดยบทบาม 1.4.3 จะได้ จะได้ว่า A4 เป็นจน คู่
จึงสรุปได้ว่า สำหรับจำนวนเต็ม 4 4 4 6 ได้ว่า
46 หรือ 06 อย่างน้อยหนึ่งจำนวนเป็นจำนวนคู่
1

ページ39:

10.1 กรัม จนประมงเลือก
10.2.1 o p q = ~ q> ~ p
ใช้ ×
P
ใน x และ y เป็น คน พบ จะพิสูจน์ว่า ดา 13 - x 49 แล้ว x เป็นจน หรือ 24
X 6624
แนวคิด
X3
ประพงษ์ ที่ต้องพิสูจน์ดัง x, y & ; & x 49 - X เป็นวันคี่ 1
พิสูน โดยแป้งสลับที่ ต้องแสดง,
พิสูจน์ (โดยยังสลับที่)
N
<³- <y x
V4 5 6 N, x เป็นจน
4 4 9 4 6
-
9 >6
x3x zy
8 x 2 3
Vxy n y →
ให้ 8 และ 9 เช่นจน.นับ
สวม 8 เป็น จน ๆ และ 9 2
โดย บท ปาม 1.4.9 จะได้ว่า จนเต็ม : 33 x 22
2975-0167 x³- X
8j3-2j
=
2j (9j2-1)
=
25((2572-727
= 2 j < 2 j - 17 c 2 j+17
เนื่องจาก x เป็นจน นับ ดังนั้น
2
ง ≥ 1
ดังนั้น x - x 2 (3)(49) (1) 40)
-
> (2(17)(2(9)-17 (2(1747)
2(27117(3)
> 6
ดังนั้น x - x > 0
แสดงใช้ได้ว่ามันมากกว่า 3
จึงสรุปได้ว่า แต่ละจำนวนนับ X 16-3 ซึ่งทำให้ ถ้า x 1 4 3 แล้ว
หรือ
X W u 9 8 à x ≤ 0 y > 6
เป็น 9%
X

ページ40:

V U p (x? v now
→
10.2.2 การพิสูจน์ x 60,001 - 4 (8) y ver) ด้วย 3 x 60 x 70 - 799

ページ41:

16.3 การพิสูจน์ ประพงศ์ เลือก 8 x 4 U, Pov 1
V× EU, p (x) v q ( x ) v r (x)
10.3.1 การพิสูจน์โดยแจงกรณ

ページ42:

การพิสูจน์โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาตร์
ใช้ได้เฉพาะจำานวนนับ
pencvk eN, pekpek))> Une N, p(n)
จงฟัง ว่า 3 1 4 - 1 สำรับ ทุกจำนวนนับ 1
ประมงที่ต้องพิสูจน์ คือ In & N, 3 1 41 - 1
d
E
wwno fal pens bin 314"-1
พิสูจน์ โดย หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
(3/4)-1)n(VkEN, 314"-314-9)
→ Une N, 314"-1
พิสูจน์ โดย นก อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ บน ห
แพวก็ด
บทนิยาม 1.4.1
ใช้ 4 และ 6 เป็นจำนวนเต็มได
ชิง - At o
alb
- มีจำนวนเต็ม ๆ ซึ่ง
6 = am โดย 6 เรียกว่า มหา
10 3 0 6ละเรียก 4 ว่า “วัน 1056
จำนวนเต็ม C ซึ่งทำให้ 0 - 0 c
นั่นคงไม่จำนวนเต็ม ใดเลย ซึ่ง 6-00
4'-1=3 ✓
ลองเทพ ค่า ท= 1
ท = 2
5
4 2 - 1 - 15 /
1
n = 3
=
43-1 = 63 ✓
ให้ ท เป็น จน นั่งใด ๆ
ใน 7 11 6
peny bongo 3/4"-1
3 1 4 - 1 เป็นประโยคเปิด
1. ชั้นฐาน
เนื่อง จาก 4 - 1 2 3
4
=
ดังนั้น 3 |41 – 1
จึงได้ว่า
P (97
เป็นจริง
2. นอง
ใน 4 เป็น 4. ดั่งใ
Jaran peks wat?.
-1
จะได้ว่า มอนเต็ม 5 ซึ่ง 4
นั่นคือ 3 | 4
เดบบท หนา 8 1. 4. 1
พัง 3 01 4
k+1
=
- ใ
=
=
(4-4)-1
14-47-14-37.
4.) 4] +3.
[CAK
4. (4-17+3
= 4 C 3m) 43
=
3 (4+1)
k
-1
=
3 พ
[โดย มฐานอุปนัยว

ページ43:

มีจน เต็ม
4 m + 1
ซง
-1
= 3. (4M+17
งิ้วได้
3 | 4
k + 1
- 1
ก้านั้น ptk447 เป็นจริง
50% Vko N, pekpek +17 (Jaso
ท
โดยหลัก นับ 3 คตศาสตร์ จะได้ว่า 3) 4 - 1 สำหรับทุกจำนวนนับ ท
อุปนายแบบ ห้องหวแปะ
n
ใน 1 เป็นจำนวนมากใดๆ 40 จน “ทาทา 1, 2 min สำหรับทุกจำนวนนับ ท
ประพจน์ ที่ต้องฟังคน คือ 1 & 2 (Men]] -
no Un€ 2+, cm+n?! >
ln
pen 1.CVk eN, peks peke?)> Une N, pen)
A
HMEN, pcm, 17 ~ (Vm & N₁ pemak7 >p (m,k+17)
-> Umn &N pemin
min!
นั่นคือ Pm, ทา แทน (+) > 11 n
พิสูจน์โดยหลัก อบ คณิตศาสตร์ บน 1.
Hm & N, [cm+1)! ] >m!₁!] ^
n
[\ke N₁cm+k)] > m/k!> <m+k+17! >\{k+1}]]
-
→ UmeN, (m+ull > m!n!
สงฆ์ (โดยบอก พับ เชิงคณิตศาสตร์ บน ทา
ใช้ 1.1 เป็นจำนวนนับใดๆ
แนวคิด
ใบ : เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ
m
แสดงว่า m ≥ 1 แห่ง
เมื่อ 151, C++) | 7 |
· n = 2; cm+2]! 21m!
↓
cm+27 (+77ml >. 2 m1.
!
=1; (3.27m! >2m!
n = 100; (m +1007! > M! 100!
(m +100) + (M+9g) f...m/ > (100-gg. 2-11 ml
(100-382-17
C 1+1007+cm+437+m! > (10071 m! ✓.
ใน pum, 1) แทน (+1) > win) เป็นประโยคเปิด
1. ขั้นฐาน
bogen (m+1] = cm+ 17ml
> C1+1)w]
= 2 ml
> mla!
[เพราะ
พ 241 า

ページ44:

จึงได้ว่า (1447) > ท
ดังนั้น P (1, 17
1. ชั้นบนัย
(
เป็นจริง
9* * เป็นจำนวนนับใดๆ
ส้วม เป็นจริง
42000 (m+ki! > milk!
Wo-s7 (m+k+1]] = (m+k+^] (m+k71
(m+k+1)! > cm+k+1) m!k!
(1444) - ( 0 ) !
(mi+k+1)] =
ml @k 40 El
cm+k+17) > mick+1)!
ดังนั้น Ptr +17 เป็นจริง
จึงได้ว่า #ke N, Pch 2 ( 41) เป็นสิ่ง
ง
[โดย มตฐานอุปนัย )
: เนื่องจาก 1 2 1 ดังนั้น พ 50 ปี
โดย 4 อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า สำหรับแต่ละ 14. 1 1 1
ซึ่ง
30 cm+n] | >m/m/ ☐
13. รูปแบบทั่วไปของหลัก อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
ใช้พิสูจน์ พจน์ที่เป็น บางนบ ทำให้ พอนั้นเป็นเท็จ
จะเริ่มพิสูจน์ ขั้นฐาน
จาก ท. ไม่ใช่ 1
จงพิสูจน์ว่า สายรับแต่ละจำนวนนับ 1 2 4 ซึ่ง 1 4 ห
แนวคิด
ประพจน์ที่ต้องพลังนี้ คือ 1 2 4, n = n] พิสูจน์โดย รูปแบบทั่วไป 100 แล้ว 6 นั่งเชิงคณิตศาสตร์
penol A ( Hk = no, pcks->pek+n?) -> Un
.2 No.
สั่น สั่ง ใน pen) แทน n = n เป็นประโยคเปิด และ n = 4
pc 47 n CVkz4g pck? →pektary
|
→ Nn z4 P01

ページ45:

[ 42 < 41] n C H k ≥ 4, k² <k! - (k+1)² ≤cktail) Un≥4, n²gh!
พิสงฆ์ (โดยรูปแบบทั่วไปของขลัง รูปนั่งเร็ว ต ศาสตร์บน หว
ใช้ n เป็นจำนวนนับใดๆ โดยที่ 1 2 4
ใน Pen เป็น 1 < nl เป็นประโยคเปิด
1.ชั้นฐาน
64027 42=176 booth 4! = 24
จึงได้ว่า
42441
ดังนั้น (4) เป็นครั้ง
2.ชั้นเอง น
ใช้ 1 เป็นจำนวนนับใดๆ โดยที่ 6 2 4
* PC) เป็นจริง
k? < Al
จน
27750267
ck +17² = k²+2k+1
66ละ ท. =4
ck +172 ck 1 +2k +1
(k+172
ck+972
(k +972 < (k+971
=
<
2 + - - - - 1 Cเนื่องจาก F 24
41
ck! tk ! +
< kl4kl4l<[
3.K!
[
A
กุ้งพัน 2 46 ]
โดยสมมติฐานรูปมั้ย
เนื่องจาก 24 ดังนั้น [ 4 ]
[ k ≥ 4 nazov k+1 > 15 16
C
32k+1]
จะได้ 1
(k+172 <'(k+1)
ดังนั้น pc 41 ) เป็นจริง
#k24, pekpekan)
โดย กองเชิงศา จะได้ว่า และจำนวนนับ 17 4
ซึ่ง
30 m² 2 × 147