あっています。
同様に考えれば、先にyで積分してからあとでxで積分する場合のそれぞれの積分範囲も求めることができます。どちらの方法でも積分値は同じになります。
先にxで積分してあとでyで積分する場合
の積分範囲は
先にyで積分してあとでxで積分する場合
の積分範囲を形式的に入れ替えたものではありません。
初めの回答のようにまずy=一定で切断すればxの積分範囲は0→yです。そのあとyを0→1で動かします。
なるほど、分かりました！
基本視点であったx軸をy軸に変えるってことですね！
ありがとうございます！
この問題では先にxで積分した方が計算が楽になります。