✨ ベストアンサー ✨
1. 年を取れば取るほど時間は早く過ぎる。
※The 比較級＋S1＋V1～, The 比較級＋S2＋V2… S1は～すればする程(それに比例して)S2は…する ＜比例＞
2. ジェーンはお父さんが料理人であることを誇りにしている。
※be proud of(前置詞) ～ing(動名詞) ～することを誇りにしている
→be proud of(前置詞)＋her father(動名詞の意味上の主語) ～ing(動名詞) お父さんが～することを誇りにしている
＝ Jane is proud that her father is a cook.
3. 祭りで牛乳を買うのを忘れないでね。
※remember to ～ (これから)～することを覚えている／remember ～ing (もう既に)～したことを覚えている
4. ジョンは歯医者に行くことを拒絶した。
※refuse to ～ （これから）～することを拒絶する
5. The tree is growing taller (and) (taller). その木は段々成長して背が高くなっている。
※比較級 and 比較級 段々、ますます
6. Osaka is the third (largest) (city). 大阪は3番目に大きな都市です。
※the second/third 最上級＋名詞… 2番目の／3番目の(最も)…
7. To preserve and pass our heritage down to coming generation. ← これは.(ピリオド)のついている文ですね？ ✕preserved→〇preserve
我々の歴史的・文化的遺産を守り、そしてそれを次世代の人達に伝えること／ために※
※to ～(動詞の原形)：不定詞－①名詞的用法 ～すること ②形容詞的用法 ～する、～するべき、～するための ③副詞的用法 ～するために、～して、～するとは
この前文、あるいは後ろの文がないため、2種類の訳①③にしています。
参考にしてください。
My pleasure!
丁寧な解説ありがとうございます！！