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[point]
・円周角の定理
円を見たらとりあえず円周角の定理！
① 円周角の大きさは中心角の半分。
(①' 特に、直径に対する円周角は直角！)
② 中心角の大きさが同じ弧(つまり同じ長さの弧)に対する円周角は等しい。
※今回の問題は直径が出てきてる。
→①'を使う可能性大！
・三平方の定理
直角三角形を見たらとりあえず三平方！
(斜辺)²=(底辺)²+(高さ)²
※今回の問題だと△AO₁O₂と△BO₁O₂が直角三角形。
→斜辺と高さから底辺の長さが計算できる！
・三角形の面積比と底辺や高さの比の関係
面積比を見たら相似比または底辺や高さの比！
①相似な図形の面積比は対応する辺の長さの2乗の比(体積比だったら3乗の比)。
②高さが等しい三角形の面積比は底辺の比。
③底辺の長さが等しい三角形の面積比は高さの比。
※今回の問題では△AO₁O₂と△BO₁O₂の底辺が共通。
→高さの比が面積比と等しい！
・三角形の面積の公式
面積=(1/2)×底辺×高さ
公式の使い方は右辺から左辺を計算するだけじゃない！方程式として解くという使い方が重要！
3つのうち2つがわかれば残りの1つについて解くことで求められる！
今回だと、面積と底辺から高さを求める！
・2直線の交点
直線上にあることから式をそれぞれ立てて、それらが同時に成り立つから連立して解く！
(1)O₁O₂²=AO₂²+AO₁²
{2(6+2√3)}²=AO₂²+(6+2√3)²
AO₂²=4(6+2√3)²-(6+2√3)²
=3(6+2√3)²
AO₂＞0より
AO₂=√3(6+2√3)
よって
△AO₁O₂=(1/2)×AO₂×AO₁
=(1/2)×√3(6+2√3)×(6+2√3)
ここで、O₁O₂を底辺としたときの高さAH'を考えると、
△AO₁O₂=(1/2)×O₁O₂×AH'
(1/2)×√3(6+2√3)×(6+2√3)=(1/2)×2(6+2√3)×AH'
↓両辺(6+2√3)で割る
(1/2)×√3(6+2√3)=AH'
AH'=√3(3+√3)
ここで、問題より△AO₁O₂:△BO₁O₂=√3:1
また底辺が共通だから△AO₁O₂:BO₁O₂=△AH':BHより
AH':BH=√3:1
BH=AH'/√3
=√3(3+√3)/√3
=3+√3
(2)1で新たにできた△BOHを考えると、BO=6+2√3, BH=3+√3であり、これは斜辺他の一辺の比が2:1であるから、辺の比が1:2:√3の直角三角形である。したがって、∠BOH=30°
円周角の定理より∠BO₁O₂=15°
(3)△OBHに三平方
BH²=OB²-BH²
=(6+2√3)²-(3+√3)²
={2(3+√3)}²-(3+√3)²
=4(3+√3)²-(3+√3)²
=3(3+√3)²
OH=√3(3+√3)
=3√3+3
=3+3√3
HO₂=OO₂-OH
=(6+2√3)-(3+3√3)
=3-√3
BO₂²=HO₂²+BH²
=(3-√3)²+(3+√3)²
=12-6√3+12+6√3
=24
BO₂=2√6
(4)最初立てた方針でやるのは難しそうなので別のやり方考えます。
△AO₁C∽△BO₂Cから
△AO₁C:△BO₂C=AO₁:BO₂
そして、△AO₁C=△AO₁O₂-△CO₁O₂
とかで式を立てて△CO₁O₂について解いたらいけるじゃないかと思います。今はちょっと時間がないのでまた今度やってみます。
(4)訂正△AO₁C:△BO₂C=AO₁²:BO₂²
ご丁寧にありがとうございます
(4)S=△BO₁O₂とおくと、√3:1より△AO₁O₂=√3S
また、x=△CO₁O₂とおく。
このとき、
△AO₁C:△BO₂C=AO₁²:BO₂²
(△AO₁O₂-△CO₁O₂):(△BO₁O₂-△CO₁O₂)=AO₁²:BO₂²
(√3S-x):(S-x)=(48+24√3):24
(√3S-x):(S-x)=(2+√3):1
√3S-x=(2+√3)(S-x)
(2+√3)x-x=(2+√3)S-√3S
(1+√3)x=2S
ここで、
△AO₁O₂=(1/2)×AO₂×AO₁
=(1/2)×√3(6+2√3)×(6+2√3)
=2√3(3+√3)²
=2√3×3(1+√3)²
=6√3(1+√3)²
よって、
√3S=6√3(1+√3)²
S=6(1+√3)²
であるから、
(1+√3)x=2×6(1+√3)²
x=12(1+√3)
=12+12√3
ありがとうございます🙇🙇
長文での回答、いつもありがとうございます
とてもわかりやすく、助かります🙇