模範解答は自分もよく分からないので、とりあえず方針を述べさせていただきます。
少しでも参考になれば幸いです。
qについて
内点の定義は多分違っていて、「あるε>0」 s.t N(p:ε)⊂Aです。そのため例えばε=1/2とかで取ってくればいいと思います。(Aにすっぽり覆われるような半径εを１つ取る。)
pについて
方針はそれでいいと思います。ただ、いくつか指摘したい点があります。
まず、N((4,4)：ε)は中心(4,4)半径εの開円板なので、
N((4,4)：ε) = {(x,y)|(x-4)^2+(y-4)^2 <ε^2}
です。
次に、(4,4+ε),(4+ε,4)はギリギリN((4,4)：ε)に属していません。そのため(4,4+ε/2),(4+ε/2,4)などの点をとる必要があると思います。
以上が自分の考えたことですが、間違ってたらすみません。
何か分からないことがあればまた教えてください！
pに関しては，証明の流れは問題なさそうです．ただし，よく考えたら(4+ε/2,4)はεが大きくなるとAに属さないので，ほかの取り方を考える必要がありそうです．すみません．
qに関して，ε/2ではなくε=1/2です．N(q,ε)⊂Aを満たすεが少なくとも1つ存在することを言えばいいので，そのような条件に合ったものがε=1/2ということです．そのため，別に1/2である必要はなく，例えばε=1/3, 1などを取っても大丈夫です．具体的には，ε=1/2と取るとすれば，N(q,1/2)⊂Aを示せばよいです．
すみません。
まずpのやり方を教えて欲しいです。
どのような点をとって証明していけばいいのでしょうか？
例えば、(min{4+ε/2,5}, 4)などの点を取ってくればいいです(もっといい取り方もあるかもしれません)。
要は、εが大きいときは適当にAに入ってる点を取ってきちゃえ、という感じですね。
すみません今確認しました。
その感じで考えてみます！
そんな感じです！
ありがとうございます！
すみません内点の場合はどうするのでしょうか？
内点はN(q,ε)⊂Aを満たすεを適当に取ってくればOKです。
図を描けば分かりますが、例えばε=1/2のときは、N(q,1/2) ⊂Aとなります。
写真1枚目が内点の証明です。合ってますでしょうか？
すみません2枚目は質問に無かったのですが、添削して欲しいです。
この問題の
境界を図示して、それが境界である事を証明せよ
という問題なのですが、証明として足りていますでしょうか？
すみません、返信遅れました。
1枚目は細かいところを添削しました。
2枚目は正直厳密な部分が分からないのでなんとも言えませんが、大枠は正しいのではないかと思います。
ただ、話の流れ的に境界は閉包-内部で求まるので、外部は示さなくても大丈夫だと思います。
全然大丈夫です！
丁寧にありがとうございます！
すみません、2枚目の()の部分が不要という認識で大丈夫でしょうか？
そうです！
(X,d)を距離空間とする。全体集合Xの部分集合Aについて、
Aが開集合 ⇔ A = A^i (A^iはAの内部)
Aが閉集合 ⇔ A = A^a (A^aはAの閉包)
という定義になっています。そのため、例えば開集合であればA = A^iを示せばよいです。
ただまあ、定義からA⊃A^i, A⊂A^aは明らかなので、それぞれ逆の包含を示せばよいことになります。
そうですね、なるべく数式を用いて説明したほうが厳密な議論ができると思います。ただどこまで厳密に説明すればいいかは微妙というか、場合によりますね。
その証明だと点(5,6)がN((4,5);2)の内点であることしか示せていないですね。
そもそも、Aにはx≠4という条件があるので、N((4,5);2)⊂Aは成り立たないです。
示すべきこととしては、Aの任意の点rがAの内点になっているということです。
式で書けば、「∀r∈A, ∃ε>0, N(r;ε)⊂A」を示すということです。
ただ、自分もやってみたのですが、x≠4のせいでかなりややこしくなります。
もし距離空間の開集合系や位相空間の勉強もされているのであれば、次のような方法で示すほうが簡単かもしれません(実は今思いつきました笑)。
①集合Aは、N((4,5),2)とR-{x=4}の共通部分と考えられる。
② {x=4}が閉集合であることを示す。
③閉集合の補集合は開集合だから、R-{x=4}は開集合である。また、N((4,5);2)が開集合なのは定義より明らか。
④開集合の(有限個の)共通部分はまた開集合になるので、集合Aも開集合である。
② {x=4}が閉集合であることを示す。
は境界を示せばいいのでしょうか？
> ② {x=4}が閉集合であることを示す。は境界を示せばいいのでしょうか？
今回についてはその通りです。正確には、{x=4}が閉包であることを示さないといけません(それが閉集合の定義なので)が、今回は境界と閉包が一致するので境界であることを示せば十分です。
> a≠4以外の内部について出して見ました。あってますでしょうか？
残念ながら、合ってないです。
まず、N((4,5),2)⊂Aが成り立っていたとしてもAが開集合であるとは限りません。これに関しては開集合の定義をしっかり確認してほしいです。
次に、そもそもN((4,5),2)⊂Aは成り立ちません(これもよく考えてほしいです)。そのため写真の最後の行の結論が出た時点でアウトです。
すみません。
A^a={(x, y)|(x − 4)^2 + (y − 5)^2≦4}
A^f={(x, y)|(x − 4)^2 + (y − 5)^2=4}+{4,y|3<y<7}
A^f ⊂ A^aでありから、R-{x=4}は境界で閉包である。
このような感じでしょうか？
p = (4,4) は A の境界点である
任意の整数ε(ε>0)に対して N((4,4)：ε) の中に A の点と A に属さない点の両方が含まれていることを示す。
N((4,4)：ε) = {(x,y)|(x-4)^2+(y-4)^2 <ε^2}
このとき
(4,4+ε/2) は N((4,4)：ε) に属し A には属さない
(4+ε/2,4) は N((4,4)：ε) に属し A にも属している。
よってpはAの境界点である。
という形であれば、証明などは飛躍してないでしょうか？
すみませんqはε/2にした時、どのような形で表して行けばいいのかよくわからないのですがどうすればいいのでしょうか？