✨ ベストアンサー ✨
「〜すること」という言い方は、to不定詞と動名詞（〜ing）があって、
to不定詞は未来のことで〜ingは過去のことなんだよ
こんな感じの説明を多分受けたんですよね？
一旦「娘が」を抜かして
「ジェーンは医師になるのを夢見ている」
という文を考えてみましょう。
娘じゃなくてジェーン自身が医師になるってことです。
そうすると
Jane is dreaming of becoming a doctor.
となります。
ofは前置詞で、前置詞の後ろはto不定詞は基本的には来ないんです（例外は少しありますが…）
なので、
このofのうしろは動名詞 becoming しか入らないんです。
問題の文に戻ります。
今回の問題は「娘が医者になる」だから、becomingの意味上の主語（なる のは誰か）は娘です。
動名詞の意味上の主語（becomingするのはだれか=娘）が文の主語（Jane）と違うときは、動名詞の前に意味上の主語を書く
というのがルールなので
her daughter becoming
となります。
文法上、不定詞も動名詞もOKの場合は「不定詞は未来・動名詞は過去」というような使い方はすると思いますね。
動詞の後ろに（目的語の位置に）to不定詞や動名詞がくる場合を考えると良いと思います。
try to Vとtry -ing・remember to Vとremember -ingとかは有名どころですよね。
不定詞と動名詞、どちらが後ろに来てもそんなに意味が変わらないよ、と説明される動詞も実際には少しニュアンスが違ったりします。
https://www.englishplus.jp/nuance/i-like-to-i-like-ing/
↑これ読んでみてください
ちなみに、このdream夢見る っていう動詞は
dream that SV とかdream of 〜ing という形になって
未来のことっぽいのにdream to V って言わない
文法問題の引っかけの割とありがちなやつです！
ありがとうございました！