Question

マスカット

素因数分解の問題で、

2000/nが整数の平方になる時、このような整数nを全て掛け合わせると何桁の整数になるか(nは正の整数)

という問題が解説を見てもよくわかりません。
答えは13桁になります。どなたか教えてくれると助かります。よろしくお願いします。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Clearnoteユーザー

n=5,20,80,125,500,2000のとき、2000/nは平方数となる。

5×20×80×125×500×2000
= 5×2×8×125×5×2×10⁷
5×2×8×125×5×2を素因数分解した形で表すと、5×2×2³×5³×5×2=2⁵×5⁵=10⁵
よって、10⁵×10⁷=10¹²となるから13桁となる。

マスカット

ありがとうございます。
すみません、どうすればn＝5,20,80,125,500,2000というように絞ることができるのか教えて頂けませんか？

Clearnoteユーザー

考え方①
2000の約数は、1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,125,
200,250,400,500,1000,2000。
(2000/n)=N(Nは平方数)とすると、2000=n×Nとなるので当然、Nも2000の約数。約数の中から平方数Nを挙げると、1,4,16,25,100,400の6つ。
よって、n,Nの組み合わせ(n,N)は、(2000,1),(500,4),(125,16),(80,25),(20,100),(5,400)となる。

考え方②
2000=2⁴×5³だから、nでそれを割ったときに累乗が偶数の組み合わせになれば良い。

n=5のとき
(2⁴×5³)/5=2⁴×5²=400

n=2²×5=20のとき
(2⁴×5³)/(2²×5)=2²×5²=100

n=2⁴×5=80のとき
(2⁴×5³)/(2⁴×5)=5²=25

n=5³=125のとき
(2⁴×5³)/5³=2⁴=16

n=2²×5³=500のとき
(2⁴×5³)/(2²×5³)=2²=4

n=2⁴×5³=2000のとき
(2⁴×5³)/(2⁴×5³)=1²=1

マスカット

本当にありがとうございます。
とても申し訳ないのですが、2つ目の考え方が偶数になれば良いというのは、2の倍数になれば良いからということですか？
すみませんが教えて頂けると助かります。

Clearnoteユーザー

各素因数(この問題では2と5)の累乗が偶数(2の倍数)になれば良いということです。

マスカット

そうですよね。たくさん質問したのに全て早めに答えていただけてとても助かりました。
とてもよく理解できました。本当にありがとうございました。