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√x が整数になるとき、xは何かの2乗の数になっています。これを前提に見ていきましょう。
⑴ √ の中身は135nですので、問題文は「135nが何かの2乗の数になるような最小のnは何か」と聞いています。
135を素因数分解すると 135 = 3^3 × 5
（「^」という記号は累乗の指数を表す記号です。ここでは3の3乗を表しています）
これが何かの2乗になればいいのですから、素因数の累乗の指数が全て偶数になるような最小のnを考えればいいのです。
3の3乗を3の4乗に、5の1乗を5の2乗にするのが最小なので、nは3×5の15となります。
⑷も考え方は⑴とよく似ています。
√ の中身 120-3x が何かの2乗の数になればいいわけですね。xは自然数であると書いてあるので、120-3xは必ず120よりも小さくなるはずです。
したがって、何かの2乗の数になる120-3xを見つけたいのであれば、120よりも小さい2乗の数を全て書き出し、120から3の倍数だけ離れているものを選び出せばいいということになります。実際に並べてみましょう。
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
これが120よりも小さい2乗の数です。次に120との差をそれぞれ求めていきます。
119 116 111 104 95 84 71 56 39 20
これらのうち3xで表せるもの、すなわち3の倍数であるものは、111, 84, 39ですね。それぞれ、3×37, 3×28, 3×13となります。したがって、求めるxは、13, 28, 37ということになります。
最後に一応、検算をしておきましょう。
√120-3×13 = √81 = 9
√120-3×28 = √36 = 6
√120-3×37 = √9 = 3
わかりやすい説明ありがとうございます🙏（4）の解説もお願いできますでしょうか