Question

Atsu#13

比を求めたいんですが、回答を見ても分かりません。
教えて頂けませんか🙏

⑥ 右の図のように, 長方形の紙ABCD を, 対角線AC を折り目として折
り返したとき, 点Bに対応する点をE, 辺ADとECの交点をFとする。
このとき, ACF と 長方形 ABCDの面積の比を,次のそれぞれの場合に
ついて求めなさい。
例題183
(1) ABBC=1:2
(2) ABBC=1:k (ただし, k> 1)

三平方の定理

Answer 1

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Clearnoteユーザー

⑴
AE=CD、角E=角D=90°、角EAF=角DCFから、△EAF≡△DCF。
EF=DF=xと置くとAF=CF=(2-x)、また、AE=CD=1から、三平方の定理より、DF=3/4、AF=5/4となり、DF:AF=3:5。
よって、△DCFと△ACFは高さが同じ三角形だから底辺の比(DF:AF=3:5)がそのまま面積比となり、△DCF:△ACF=3:5、
また、△ABC=△CDA=8と表すことができる。
従って、
△ACF:長方形ABCD=5:16となる。

⑵
AE=CD、角E=角D=90°、角EAF=角DCFから、△EAF≡△DCF。
EF=DF=xと置くとAF=CF=(k-x)、また、AE=CD=1から、三平方の定理より、DF=(k²-1)/2k、AF=(k²+1)/2kとなり、DF:AF=(k²-1):(k²+1)。(長さの比は、正の整数で表されるからk²-1＞0になる必要があるので、k＞1という条件を満たしている。)
よって、△DCFと△ACFは高さが同じ三角形だから底辺の比がそのまま面積比となり、△DCF:△ACF= (k²-1):(k²+1)、また、△ABC=△CDA=2k²と表すことができるから、長方形ABCD=4k²。
従って、
△ACF:長方形ABCD=(k²+1):4k² (k＞1)となる。