Question

あほでごめんなさい

積分定数についてです。

現在、微分方程式に手をつけているのですが積分定数Cの扱い方が分からない状態です。
y=f(x)を求める問題で、仮にf(x)=e^(x+C)と求まった時は
y=e^x×e^Cと記述したのですが、よくよく考えると指数の
(x+C)は実数全体をとるべきなのにy=e^x×e^Cだとe^C>0なので値に制限がかかると思いました。

このような時はe^C=Aと指数関数自体積分定数に置き換えるべきなのでしょうか

Answer 1

バンダースナッチ

微分方程式によってはたしかに「任意定数のありかが限られている」みたいなケースはあります(非線形の問題とかですね)

が、例に出したようなケース(おそらく、y'=y？)では、積分の過程を定積分の形で書き直して、xと初期値の居場所を考えると見えてくるんですが、ちゃんと負の値も出てきます。一般に、線形の常微分方程式は任意の初期値に応じた解が存在するので、計算をつぶさに追ってみましょう！

Answer 2

BaSO4

どのような問題でe^(x+C)が出たのでしょうか。
x,x+1,x-1,x+100これら全て微分すると1になる。
1を積分してもx+?ってところまでしかわからない。
だから?をCとして表している。このためにCはあります。
微分して消える数があるから、積分した時その消えたものを仕方なくCとしている。
e^(x+C)を微分したときCは残り続けるので、積分してe^(x+C)となるような式がパッと思い浮かびません。