✨ ベストアンサー ✨
これは課題とかですか？
まだ時間に余裕があるなら丁寧に教えます。
明日のいつ頃までですか？
23:59提出です！
了解です。解くのに時間がかかると思います。なので、少しずつ答えていきます。
問題1
(1) 仮定から、a＊b ≠ b＊a･･･①を満たすa,b ∈ G_1が存在する。Ker fが単位元以外の元を含まないと仮定すると、Ker f = {e} (eはG_1の単位元)が成り立つ。これはfが単射であることと同値である。
このとき、①の両辺をfで飛ばすと、fの単射性より
f(a＊b) ≠ f(b＊a)であるが、fは準同型なので
f(a)＊f(b) ≠ f(b)＊f(a)が成り立つ。しかしこれはG_2がアーベル群であることに矛盾する。よってKer f ≠ {e}. すなわちKer fは単位元以外の元を含む。
(2) 任意のg ∈ G_1とh ∈ f^{-1}(N_2)に対して
ghg^{-1} ∈ f^{-1}(N_2)を示せばよい。fで飛ばすと、準同型なのでf(ghg^{-1}) = f(g)f(h)f(g)^{-1}
f(g) ∈ G_2かつf(h) ∈ N_2であり、N_2はG_2の正規部分群なのでf(ghg^{-1}) = f(g)f(h)f(g)^{-1} ∈ N_2.
よって、ghg^{-1} ∈ f^{-1}(N_2)
(3)成り立たない。反例として、G_1 = S_4, N_3 = A_4, N_4 = V_4とすればよい。ただし、S_4は4次対称群、A_4は4次交代群、V_4はKleinの四元群である。
うわ、、ありがとうございます🙇🏻♀️
問題2
(1) r = (1 2 3 4), s = (1 3)とするとき、r,sによって生成される部分群H = 〈r, s〉は位数8である。実際、
H = {e, r, r², r³, s, sr, sr², sr³}の8つの元からなる。
(2) 任意の位数8の元Nと、位数2の元σをとる。このとき、ラグランジュの定理より|𝔖_4/N| = 24/8 = 3.
また、σの同値類σNの𝔖_4/Nにおける位数は
(σN)(σN) = σ²N = eN = Nより
σN = Nのとき1、σN ≠ Nのとき2である。ラグランジュの定理よりσNの位数は3を割り切る必要がある。よっσNの位数は1、すなわちσN = N。これはσ ∈ Nを意味する。σは任意の位数2の元であるが、𝔖_4の位数2の元は次の9つある。
(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4),
(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)
この9つの元がすべてNに含まれるので、Nの位数が8であることに矛盾する。よってNは正規部分群ではない。
(3) |𝔖_4| = 24 = 2³•3であり、シローの定理により位数が8の部分群の個数nは次を満たす。
n ≡ 1 mod3かつn | 3
これを満たすのはn = 1,3のみ。そして、n=1のときシロー2部分群は正規部分群となる。しかしこれは(2)に反する。よってn=3。以上より、求める個数は3個。
問題3
(1) 同型ではない。
同型と仮定すると、群の同型写像は元の位数を保存する。なので、ℤ/2ℤ × ℤ/6ℤの位数2の元の数とℤ/3ℤ × ℤ/4ℤの位数2の元の数は一致する。しかし、前者は(ℤ,0), (0,3ℤ), (ℤ,3ℤ)の3つ。後者は(0,2ℤ)の1つしかない。よって矛盾ので、同型ではない。
(2) 同型である。
有限生成アーベル群の基本定理を用いて2つの群を変形すると、
ℤ/2ℤ × ℤ/12ℤ ≃ ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ × ℤ /4ℤ
ℤ/4ℤ × ℤ/6ℤ ≃ ℤ/4ℤ × ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ
となるので同型である。
続き(問題4と問題5)は明日の朝ぐらいにやります。
ありがとうございます！！！
問題4
(1) Eを4次単位行列とします。ここで、A,A²,A³,B,B²,B³ ≠ EかつA⁴ = B⁴ = Eなので、A,Bの位数はともに4である。
(2) G = {±E, ±A, ±B, ±AB}である。
実際、Gの任意の元MはM_1,...,M_n ∈ {A,B}を用いて
M = (M_1)^(a_1) • (M_2)^(a_2) • ･･･ • (M_n)^(a_n)と書ける。ただし、a_1,a_2,...,a_n ∈ ℤである。
さらに、AB = -BAを用いると①は
M = ± A^α • B^β (α,β ∈ ℤ, α,β ≧ 0)
と表せる。よって、A⁴ = B⁴ = E, A² = B² = Eより
M = ± A^δ B^ε (δ,ε ∈ {0,1})となり、Mは±E, ±A, ±B, ±ABのいずれかである。
(3) 位数2の部分群Nをとると、Nは{E, X}の形をしている。ただし、X ≠ E, X ∈ Gである。部分群なので、X² = Eを満たす。これを満たすXは-Eのみである。実際、(±A)² = (±B)² = -E, (±AB)² = -Eであるから。よって、位数2の部分群はN = {E, -E}のみである。また、任意のg ∈ Gとh ∈ Nに対してghg^{-1}を考えると、hは±Eなので
ghg^{-1} = g(±E)g^{-1} = ±gg^{-1} = ±E ∈ N
となり、NはGの正規部分群である。
(4) [G,G]をGの交換子群とする。このとき、Gは非アーベル群なので、[G,G] ≠ {E}である。また、商群G/[G,G]は自明でない。また、任意の交換子は-Eに等しい。以上より、|[G,G]| ≠ 1,4,8 ･･･ ②
[G,G]はGの正規部分群なので、|[G,G]|は|G|を割り切る。このうち②を満たすのは|[G,G]| = 2. (3)より位数2の部分群はNしか存在しない。よってN = [G,G]となる。
問題5
(1) 任意の元 r + ℤ ∈ ℚ / ℤをとる。このとき、r ∈ ℚなので、p ∈ ℤ, q ∈ ℕ を用いてr = p/qと表せる。このとき、
q (r + ℤ) = qr + ℤ = q•(p/q) + ℤ = p + ℤ = ℤ
が成り立つので、r + ℤの位数ord(r + ℤ)は
ord(r + ℤ) ≦ q < ∞
となり、位数有限である。
(2) 任意の r + ℤ ∈ ℚ / ℤをとる。このときr ∈ ℚなので、p ∈ ℤ, q ∈ ℕ を用いてr = p/qと表せる。ここで、
r' = p/(5q)を考える。明らかにr' ∈ ℚであり、
f(r' + ℤ) = 5r' + ℤ = 5•{p/(5q)} + ℤ = p/q + ℤ = r + ℤ
となるので、fは全射である。
Ker f = {r + ℤ ∈ ℚ / ℤ : f(r + ℤ) = ℤ}
= {r + ℤ ∈ ℚ / ℤ : 5r + ℤ = ℤ}
= {r + ℤ ∈ ℚ / ℤ : 5r ∈ ℤ}
= {ℤ, 1/5 + ℤ, 2/5 + ℤ, 3/5 + ℤ, 4/5 + ℤ}
これで終わりです。
すみません。そこは少し間違ってます。
「任意の交換子は±Eに等しい」
が正しいです。
これは、[G,G]の任意の交換子が
[A^aB^b, A^cB^d] = (-E)^{ad-bc} = ±E
となるから。ただしa,b,c,d ∈ ℤである。
と書いてもらえれば大丈夫です。交換子1つだとその後が成り立たないので、この形にしてください。
なるほど、！
めちゃめちゃ助かりました🙏
ありがとうございました！🙌
いえいえ、頑張ってください‼︎
相談なんですけど、、
代数、線形ってどうやって勉強してますか？？おすすめ教材などあったら教えて頂きたいです🙇♀️
定義をまず詰め込むべきですかね、？
代数系に進みたい感じですか？
まだ全く考えてはいないんですけど、、
今年の9月に進級試験があるのでそれに向けて勉強始めないとなって感じです
了解です。
まず、私が使ってた代数学(群論)の参考書は
『群論序説』 (星明考 著)
『代数学1 群論入門』 (雪江明彦)
です。どちらか1つ選ぶなら『群論序説』のほうが例も多くていいと思います。雪江さんのほうは問題が充実していて、いい練習になると思います。
線形代数は何を使っていたかすぐに思い出せないので、少々お待ちください。
課題ですー！
明日までの課題なんです😢